關(guān)于亞純函數(shù)分擔(dān)公共值集的一些結(jié)果.pdf

1、值分布論是由Rolf Nevanlinna在二十世紀(jì)二十年代初創(chuàng)立的，通常為了紀(jì)念他，我們常稱之為Nevanlinna理論。Nevanlinna理論可以看做是上個(gè)世紀(jì)研究亞純函數(shù)性質(zhì)所取得的最好的成果。這個(gè)理論包括了兩個(gè)基本定理，我們把它們稱之為第一基本定理和第二基本定理，這兩個(gè)定理顯著的提高了經(jīng)典函數(shù)理論的研究，并且在隨后，推廣和擴(kuò)展了Picard第一定理，由此開創(chuàng)了亞純函數(shù)研究的先河。更為重要的是，Nevanlinna理論及其擴(kuò)展在

2、一些領(lǐng)域里有著許多的應(yīng)用，如位勢(shì)理論，復(fù)微分方程，復(fù)差分方程，正規(guī)族，多復(fù)變等等。
　　 Nevanlinna理論是研究亞純函數(shù)唯一性很重要的工具.亞純函數(shù)唯一性理論主要研究在何種條件下本質(zhì)上只存在一個(gè)函數(shù)滿足這些條件。我們都知道多項(xiàng)式除了一個(gè)非常數(shù)因子由它的零點(diǎn)唯一確定，但是這種情況對(duì)于超越整函數(shù)就不成立了。因此，如何唯一確定一個(gè)亞純函數(shù)是非常有趣和復(fù)雜的。在這個(gè)研究領(lǐng)域中，由R.Nevanlinna建立的值分布理論自然變成研

3、究這一問題的主要工具。早期，Nevanlinna自己證明任意非常數(shù)亞純函數(shù)可以由五個(gè)值唯一確定。也就是說，如果兩個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)f和g在相同的五個(gè)點(diǎn)取得同樣的值，那么f≡g。當(dāng)然，當(dāng)添加更多的條件時(shí)，分擔(dān)的公共值的數(shù)量五是可以減少的。儀洪勛教授在他的著作[45]中介紹了各種在不同情況下研究亞純函數(shù)唯一性理論的結(jié)果和方法，其中一個(gè)很重要的方面就是亞純函數(shù)分擔(dān)公共值集的唯一性理論。近些年來，這方面的一個(gè)重大進(jìn)展是儀洪勛教授做出的工作，他解決

4、了由Gross提出的一個(gè)重要問題。
　　 本文主要包括作者得到的關(guān)于對(duì)H.Fujimoto的一個(gè)結(jié)果的改進(jìn)，關(guān)于Yang-Hua的一個(gè)亞純函數(shù)唯一性結(jié)果的改進(jìn)，Cm上亞純函數(shù)的唯一性像集和亞純函數(shù)IM分擔(dān)10個(gè)元素的公共值集的唯一性。本論文的結(jié)構(gòu)安排如下： 第一章,我們簡(jiǎn)單介紹了Nevanlinna理論和亞純函數(shù)唯一性理論的發(fā)展歷程。 第二章,我們研究了這樣一個(gè)問題：設(shè)P(ω)是一個(gè)次數(shù)為q,無重零點(diǎn)的,唯一的多項(xiàng)式,它的導(dǎo)數(shù)有

5、k個(gè)互不相同的零點(diǎn)dl,他們的重?cái)?shù)分別是ql,l=1,2,…,k,設(shè)S：={α1,α2,…,αq}是P(ω)的零點(diǎn)集合。假設(shè)P(dls)≠P(dlt)(1≤lslt≤k),我們對(duì)集合S給出充分的條件,一個(gè)弱化的值分布條件,即滿足條件∑j/q=1 v(f,m0)/(aj))三∑j/q=1 v(g,m0)/(aj))(m0∈Z+∪{∞}),那么對(duì)于C上任意兩個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)或整函數(shù)f和9,有f≡g。它改進(jìn)了H. Fujimoto的一個(gè)結(jié)果。

6、另外,我們還討論了其他相關(guān)問題。 在第三章,我們研究了形如fnf'的亞純函數(shù)(或整函數(shù))的唯一性,我們主要得到下面結(jié)果：設(shè)f和g是兩個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)(或整函數(shù)),設(shè)a∈C\{0}是一個(gè)非零有限的常數(shù)。那么,在條件E3)(a,fnf')=E3)(a,gng')下,我們可以得到,對(duì)于某些n+1次單位根d,有f=dg；或者,對(duì)于三個(gè)非零常數(shù)c,c1和c2,有(c1c2)n+1c2=—α2.f=c1ecz和g=c2e-cz,其中亞純函數(shù)時(shí)n≥1