一類二次可積系統(tǒng)的Abel積分的零點(diǎn)個(gè)數(shù)估計(jì).pdf

1、確定Abel積分的零點(diǎn)個(gè)數(shù)上界，是當(dāng)今分岔理論研究的熱門課題之一，這一問題和確定Hamilton系統(tǒng)與可積系統(tǒng)在多項(xiàng)式擾動(dòng)下的極限環(huán)個(gè)數(shù)密切相關(guān).由于這是Hilbert第16問題的一種特殊情況，所以把它叫做弱化的Hilbert第16問題.本文主要討論形如H(x，y)=X-3(1/2y2+Ax2+Bx+C)(A，B，C為實(shí)參數(shù))的二次可積系統(tǒng)擾動(dòng)下的Abel積分的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的估計(jì)問題，全文分為五個(gè)部分，第一部分介紹了研究現(xiàn)狀以及本文主要的結(jié)

2、論，第二部分研究了x=Hy/M，y=-Hx/M的正規(guī)形，這里H(x，y)=(ax+by+c)kP2(x，y)，P2(x，y)=∑i+j≤2aijxiyj,a2+b2≠0，k∈Z，給出了至少有一個(gè)中心的上述系統(tǒng)所對應(yīng)的首次積分形式，及其軌線的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖。 本文的第三部分討論了首次積分為H(x，y)=X-｜k｜(1/2y2+Ax2+Bx+C)，其對應(yīng)系統(tǒng)在n次擾動(dòng)下的I(h)的代數(shù)構(gòu)造，得出其有k個(gè)生成元，并給出了表示式中系數(shù)多項(xiàng)式

3、的階數(shù)。 文章的后三部分討論了至少有一個(gè)中心的二次可積系統(tǒng)在一般n次擾動(dòng)下的Abel積分，I(h)=∮[M(x，y)g(x，y)]dx-[M(x，y)，f(x，y)]dy的零點(diǎn)個(gè)數(shù)上界，這里f(x，y)，g(x，y)是關(guān)于x，y的n次多項(xiàng)式.首先，我們根據(jù)I(h)的代數(shù)構(gòu)造，證明了I(h)可表為三個(gè)生成元J-1(h)，J0(h)，J1(h)的組合，即，I(h)=1/hn-3(α(h)J-1(h)+β(h)J0(h)+γ(h)J1