Hilbert模的曲率和局部化維數(shù)公式.pdf

1、本文主要考慮了擬齊次Hilbert模的Arveson曲率不變量與Dirac算子指標(biāo)的關(guān)系，高維單位球上內(nèi)函數(shù)生成的子模及其商模的Taylor譜和Tayor本質(zhì)譜及其相關(guān)的K-同調(diào)，以及由多項(xiàng)式生成的解析Hilbert子模的局部化維數(shù)公式及其幾何不變量。 Arveson在1999年提出了Hilbert模的曲率不變量的概念，其定義相當(dāng)復(fù)雜，Arveson發(fā)現(xiàn)在一些有趣的情況下，它總是一個(gè)正整數(shù)。這一令人驚奇的事實(shí)可能蘊(yùn)含著Hilbe

2、rt模的許多還不清楚的信息，引起了廣泛的關(guān)注，成為目前算子理論和Hilbert模幾何分析的熱點(diǎn)問(wèn)題之一。本文的工作之一研究了擬齊次Hilbert模的一些性質(zhì)，并將Arveson[Ar6]中的主要結(jié)果，即對(duì)于齊次Hilbert模，Arveson曲率不變量與Dirac算子相關(guān)的指標(biāo)公式推廣到擬齊次Hilbert模的情形。 眾所周知，單位圓盤(pán)上Hardy空間的坐標(biāo)乘法算子的不變子空間都是由單個(gè)內(nèi)函數(shù)生成的，用模的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，其子模都是由

3、單個(gè)內(nèi)函數(shù)決定的，故內(nèi)函數(shù)的理論在研究子模結(jié)構(gòu)時(shí)十分重要。本文研究了高維單位球上Hardy模的由內(nèi)函數(shù)生成的子模，即所謂的Beurling型子模。我們完全刻畫(huà)了高維單位球上Beurling型子模及其對(duì)應(yīng)商模的Taylor譜和Taylor本質(zhì)譜，并研究了其相關(guān)的K-同調(diào)。 Cowen和Douglas上世紀(jì)七十年代末將復(fù)幾何的工具引入到算子理論中。近年來(lái)Douglas，Misra等人希望用復(fù)幾何的方法來(lái)研究Hilbert模的幾何不變

4、量，例如一類Hilbert模對(duì)應(yīng)的Hermitian全純向量叢的曲率不變量。局部化的方法是研究Hilbert模的強(qiáng)有力工具之一。在研究Hilbert模的局部化的幾何中，Douglas，Misra和Varughese提出了關(guān)于解析Hilbert子模的局部化的維數(shù)公式的一個(gè)猜想。我們利用Guo提出和發(fā)展的特征空間理論將其轉(zhuǎn)化為經(jīng)典代數(shù)幾何中的一個(gè)等價(jià)問(wèn)題，并結(jié)合算子理論和代數(shù)幾何的方法證明了該問(wèn)題在大多數(shù)自然的情況下成立，通過(guò)經(jīng)典的代數(shù)幾何