預(yù)條件SOR型迭代法的收斂性.pdf

1、眾所周知，在科學(xué)技術(shù)的許多領(lǐng)域中，都會遇到微分方程初、邊值問題，然而只有十分簡單的很少一部分微分方程能夠求得其解析解.對于那些復(fù)雜的而又常見的微分方程，如橢圓型、拋物型微分方程，為了解決實(shí)際問題，我們就必須求出該方程的解或在某些點(diǎn)上的函數(shù)值，在此種情況下，我們常常會選取求解該微分方程的數(shù)值解.而在利用差分方法逼近橢圓型方程邊值問題來求其數(shù)值解時(shí)，最終歸結(jié)為求解大型稀疏線性代數(shù)方程組的問題.我們知道，線性代數(shù)方程組的解法有直接法和迭代法兩

2、種，而差分格式產(chǎn)生的大型線性代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣中非零元素占的比例小，分布很有規(guī)律性，迭代法程序?qū)崿F(xiàn)比較簡單，還能節(jié)省存儲空間，所以迭代法是解橢圓型差分方程極為重要的方法.由于是大型稀疏矩陣，所以在求解線性方程組時(shí)所選的迭代方法的收斂速度極其重要，只有收斂速度快的迭代方法才具有實(shí)際意義.而本文正是討論如何加速一種迭代方法的收斂性，具體來說就是在預(yù)條件子P=I+S的作用下，證明了兩種預(yù)條件SOR型迭代法比經(jīng)典SOR迭代方法收斂的速度要快.

3、
　　 2007年，王學(xué)忠等人在文獻(xiàn)[3]中研究了在一個(gè)一般形式的預(yù)條件子的作用下，所提出的兩種預(yù)條件SOR型迭代方法的收斂速度要比預(yù)條件Gauss-seidel型迭代方法、經(jīng)典SOR迭代方法的收斂速度快，并給出了相應(yīng)的理論證明和數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果.而在本文中我們先指出了文獻(xiàn)[3]在證明所提出的預(yù)條件SOR型迭代方法的收斂性時(shí)，其理論推導(dǎo)中存在的一些問題，并舉出了一個(gè)數(shù)值反例，接著分析了所指問題出現(xiàn)的原因.然后我們改進(jìn)了此預(yù)條件子，并

4、證明了在此預(yù)條件子的作用下文獻(xiàn)[3]的結(jié)論的正確性，接著在文章的核心部分一一第四部分中我們討論了改進(jìn)后的迭代方法收斂的充分條件，即當(dāng)線性方程組的系數(shù)矩陣為M-矩陣，H一矩陣，正定的Z-矩陣時(shí)兩種預(yù)條件SOR型迭代方法是收斂的，最后給出了在此預(yù)條件子的作用下兩種預(yù)條件SOR型迭代方法的收斂性比較定理.在文章的最后一部分中，我們用數(shù)值例子驗(yàn)證了本文所得到的收斂結(jié)果.
　　 此文對于從事數(shù)值計(jì)算方面研究的學(xué)者或研究員來說具有一定的參考