拋物問題的區(qū)域分解算法及特征線方法.pdf

1、數(shù)學(xué)物理及工程問題，如油氣藏的勘探與開發(fā)、大型結(jié)構(gòu)工程、航天器的設(shè)計(jì)、天氣預(yù)報、反應(yīng)堆的計(jì)算等，無不歸結(jié)為求解大型偏微分方程。計(jì)算區(qū)域往往是高維的、大范圍的，其形態(tài)可能很不規(guī)則，給數(shù)值計(jì)算帶來很大困難。區(qū)域分解算法是上世紀(jì)八十年代蓬勃發(fā)展起來的新方向。簡單地說，區(qū)域分解算法是把計(jì)算區(qū)域Ω分解成若干子區(qū)域：（），子區(qū)域Ωi的形狀盡可能規(guī)則，于是原問題的求解轉(zhuǎn)化為在子區(qū)域上求解。由于區(qū)域分解算法能將大型問題分解為小型問題、復(fù)雜邊值問題分解為

2、簡單邊值問題、串行問題分解為并行問題，具有良好的并行性能。從上個世紀(jì)八十年代起，區(qū)域分解算法就已成為計(jì)算數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。 區(qū)域分解算法大致可以分成兩類：重疊型區(qū)域分解算法和非重疊型區(qū)域分解算法。子區(qū)域的選擇主要依靠區(qū)域形狀的可計(jì)算性以及問題的物理背景。尤其是后者，特別適用于在不同物理子區(qū)域上有不同控制方程的復(fù)合問題的計(jì)算。非重疊型區(qū)域分解算法實(shí)現(xiàn)起來比較直觀易用，而重疊型區(qū)域分解算法的理論分析較為容易。 本文中，在區(qū)

3、域分解算法方面，我們研究的重點(diǎn)是重疊型區(qū)域分解算法。重疊型區(qū)域分解算法是一種重要的求解偏微分方程的數(shù)值方法，其原始思想來源于經(jīng)典的Schwarz交替法。近年來建立在Schwarz交替法基礎(chǔ)上的區(qū)域分解算法在理論分析和實(shí)際應(yīng)用中都取得了令人矚目的發(fā)展，已成為一種有效的迭代方法。對于橢圓問題，許多基于重疊型區(qū)域分解的數(shù)值方法已經(jīng)建立了系統(tǒng)的理論分析[6，14，16]。Lions[40，41]對熱傳導(dǎo)方程提出了一類建立在兩個子區(qū)域基礎(chǔ)上的Sc

4、hwarz交替法，給出了收斂性結(jié)果，但沒有給出誤差估計(jì)。X.C.Cai[13，15，16，17]對于拋物問題構(gòu)建了幾類加性Schwarz算法和乘積性Schwarz算法，并證明了算法的收斂性，但作者沒有詳細(xì)討論收斂率對離散參數(shù)的依賴性。芮洪興教授和羊丹平教授[50，51]對于拋物問題論證了乘積性Schwarz算法的收斂性，并給出了誤差估計(jì)與子區(qū)域長度、空間網(wǎng)格步長、時間步長和每一時間層上的迭代次數(shù)之間的關(guān)系。 本文的另一個研究重點(diǎn)

5、是特征線方法。近年來，隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，關(guān)于對流-擴(kuò)散方程求解問題的研究具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。對流-擴(kuò)散方程可應(yīng)用于油藏的運(yùn)移聚集、油氣資源的開采、地下水的污染、海水入侵等很多領(lǐng)域。從物理本質(zhì)上考慮，它們都是流體在地下復(fù)雜的多孔介質(zhì)問的運(yùn)移，這種運(yùn)移常常是對流占優(yōu)或強(qiáng)對流占優(yōu)的擴(kuò)散運(yùn)動。對于這些大規(guī)模長時間的實(shí)際應(yīng)用問題，數(shù)值方法求解其數(shù)學(xué)模型常常遇到很大的困難。顯著的困難在于對流占優(yōu)的對流-擴(kuò)散方程的解具有移動的陡峭前沿，求

6、解一般拋物方程所用的標(biāo)準(zhǔn)有限元方法或有限差分方法會產(chǎn)生難以接受的數(shù)值震蕩和數(shù)值彌散。為了克服數(shù)值震蕩，工業(yè)中求解這類問題所使用的加權(quán)迎風(fēng)方法又會產(chǎn)生較強(qiáng)的數(shù)值彌散。 J.Douglas，Jr.在1982年首次關(guān)于對流-擴(kuò)散問題提出特征線方法[26]。將特征線方法引入到對流占優(yōu)的對流-擴(kuò)散問題中，這被認(rèn)為是求解對流占優(yōu)方程近似解的一種有效途徑。此后，J.Douglas、Jr.、T.F.Ewing、M.F.Wheeler和袁益讓教

7、授等都對對流-擴(kuò)散方程問題的研究和應(yīng)用奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)和實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)[24，25，35，48，49，64，65]。從實(shí)驗(yàn)中可以看出，特征線方法相比一般的方法，能夠增加時間步長，從而提高計(jì)算效率，同時避免數(shù)值震蕩等優(yōu)點(diǎn)，為大規(guī)模和大時間步長的數(shù)值計(jì)算提供了有效的途徑。芮洪興教授和M.Tabata，在2002年建立了一種新的特征線方法[52]。這種計(jì)算格式在時間步長上具有二階精度，并且是對稱的和無條件穩(wěn)定的。 在導(dǎo)師芮洪興教授的悉心

8、指導(dǎo)下，本文作者在前人工作的基礎(chǔ)上，對重疊型區(qū)域分解算法和特征線方法做了部分研究工作。首先，基于X.C.Cai提出的加性Schwarz算法，我們論證了拋物問題的加性Schwarz算法的收斂性以及誤差估計(jì)對子區(qū)域長度、空間網(wǎng)格步長、時間步長和每一時間層上的迭代次數(shù)的依賴性。理論分析和數(shù)值算例均表明，算法具有高度的并行性。其次，結(jié)合X.C.Cai提出的乘積性Schwarz算法和芮洪興教授提出的二階特征有限元方法（計(jì)算格式在時間步長上具有二階

9、精度），對對流-擴(kuò)散方程構(gòu)建了一種新的區(qū)域分解算法，并且理論上分析了算法的收斂性。最后，基于T.Arbogast和M.F.Wheeler建立的特征-混合元方法，我們給出一種特征-混合元格式來近似求解不穩(wěn)定狀態(tài)對流-擴(kuò)散方程，此格式保持局部質(zhì)量守恒性。本文作者在理論上證明了格式的收斂性，并且在一定的條件下論證了誤差估計(jì)關(guān)于趨于零的擴(kuò)散系數(shù)是一致的。 全文共分三章。 第一章，首先考慮由二階拋物問題的Galerkin有限元方法

10、所得到的線性代數(shù)方程組，我們在此基礎(chǔ)上提出了加性Schwarz區(qū)域分解算法。此種算法的方程系數(shù)矩陣是對稱正定的，可以應(yīng)用共軛梯度法迭代求解。然后我們論證了拋物問題的加性Schwarz算法的收斂性及誤差估計(jì)與子區(qū)域長度、空間網(wǎng)格步長、時間步長和每一時間層上的迭代次數(shù)之間的關(guān)系。理論分析和數(shù)值算例均表明，算法具有高度的并行性。其次，我們引進(jìn)一種修正的加性Schwarz算法，這類算法相比于一般加性Schwarz算法更適用于并行計(jì)算，并且同樣在

11、理論上證明了修正的加性Schwarz算法的收斂性及誤差估計(jì)對子區(qū)域長度、空間網(wǎng)格步長、時間步長和每一時間層上的迭代次數(shù)的依賴性。數(shù)值算例驗(yàn)證了算法的的有效性和優(yōu)越性。本章的一些結(jié)果已經(jīng)發(fā)表在《Applied Mathematics and Computation》上（見[46]）。 第二章，主要研究對流-擴(kuò)散方程的區(qū)域分解算法。我們知道，對流占優(yōu)的對流-擴(kuò)散方程的解具有移動的陡峭前沿，求解一般拋物方程所用的標(biāo)準(zhǔn)有限元方法或有限差

12、分方法會產(chǎn)生難以接受的數(shù)值震蕩和數(shù)值彌散。對此問題，采用芮洪興教授所提出的二階特征有限元格式（計(jì)算格式在時間步長上具有二階精度）[52]，并結(jié)合乘積性Schwarz算法，我們得到一種新的區(qū)域分解算法并且給出一個最優(yōu)階的誤差估計(jì)。理論分析證明了算法的收斂性。我們還證明了誤差估計(jì)與子區(qū)域長度、空間網(wǎng)格步長、時間步長和每一時間層上的迭代次數(shù)之間的關(guān)系。 第三章，研究不穩(wěn)定狀態(tài)對流-擴(kuò)散方程的特征-混合元方法。到目前為止，數(shù)值求解對流占

13、優(yōu)的對流-擴(kuò)散方程仍然是計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)的一個研究熱點(diǎn)。近年來，這類數(shù)值方法的研究有很多，例如，顯式特征線方法、流線擴(kuò)散法[38]、修正的特征Galerkin有限元法（MMOC-Galerkin）[24，26，31]和Eulerian-Lagrangian局部共軛方法（ELLAM）[18，19，54，56，57]等等。每一種方法都有各自的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)。顯式特征線方法需要一個Courant-Friedrich-lewy（CFL）時間步長條件。流

14、線擴(kuò)散法雖然能夠在一定程度上消除數(shù)值彌散，但是增加了一個自定義的偏離于流線方向的量。對于修正的特征Galerkin有限元方法（MMOC-Galerkin），其優(yōu)點(diǎn)是很大程度上消除了數(shù)值震蕩和數(shù)值彌散，可用于大步長大規(guī)模數(shù)值計(jì)算（它是一種隱格式），并成功地應(yīng)用于油藏問題的數(shù)值模擬。然而，這種方法不能保持物理問題所固有的質(zhì)量守恒性。Euler-Lagrange局部共軛方法（ELLAM），作為改進(jìn)的特征線方法不僅保持質(zhì)量守恒性，而且能夠方便地