Sturm-Liouville算子的矩陣逼近及其應(yīng)用.pdf

1、Sturm-Liouville(SL)算子是數(shù)學(xué)和物理中最重要的微分算子之一。SL算子的特征譜逼近本身具有重要的實(shí)際意義，同時也是很多其它的微分方程數(shù)值求解的基礎(chǔ)。用傳統(tǒng)的有限差分和有限元以及它們的漸近修正方法離散SL問題得到的廣義矩陣特征值問題中，只有很少一部分譜較精確地逼近SL算子的譜。已有的數(shù)值方法對于SL算子的高階特征譜的計算都還不夠精確和高效。高階特征譜難以計算的主要原因是越高階的特征函數(shù)越高頻地振蕩。高頻振蕩解的逼近是目前數(shù)

2、值計算的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問題之一。
　　 一個理想的逼近算子是其所有的譜都很精確地逼近SL算子的譜。本論文的主要目的就是尋找盡可能理想的有限矩陣算子逼近無窮維空間上的SL算子。從函數(shù)逼近論的角度看，這相當(dāng)于是尋找一個好的有限維子空間來逼近未知解所在的無窮維空間或其對偶空間。通過在子空間上的插值投影，就可以得到逼近微分算子的微分矩陣。逼近的精度完全取決于插值基函數(shù)、離散點(diǎn)和插值公式的選取。本文分別以代數(shù)多項式和三角多項式為基函數(shù)，從插值

3、的收斂性、穩(wěn)定性和計算效率綜合考慮離散點(diǎn)和插值公式的選取，系統(tǒng)地構(gòu)造了逼近SL算子的微分矩陣，并分析和驗證了它們的高精度特性。
　　 首先，對于代數(shù)多項式基，本文通過對插值過程的仔細(xì)分析，充分說明了譜方法中常用的Chebyshev點(diǎn)和重心Lagrange插值公式是最佳的選擇；通過對邊界條件的消去處理，得到了滿足各種邊界條件的Chebyshev微分矩陣；證明了對一類奇異SL算子，Chebyshev微分矩陣是理想的；對于正則SL算子

4、，Chebyshev微分矩陣只有約2/π的特征譜收斂，本論文用基于共形映射和重心有理插值公式的改進(jìn)的Chebyshev微分矩陣來逼近正則SL算子，得到更精確的結(jié)果；分別把Chebyshev微分矩陣和改進(jìn)的微分矩陣對常系數(shù)正則SL算子的2/π和(?)收斂性推廣到變系數(shù)情形。
　　 其次，對于三角多項式基，本文根據(jù)不同的邊界條件，選擇自動滿足邊界條件的三角多項式基來構(gòu)造微分矩陣；除周期邊界對應(yīng)的微分矩陣為已有的Fourier擬譜方法

5、外，給出了其它邊界條件對應(yīng)的新的三角多項式重心插值公式和微分矩陣，并第一次用它們來求解SL問題。證明了對于常系數(shù)正則SL算子，三角多項式微分矩陣是理想的；對于變系數(shù)正則SL算子，三角多項式微分矩陣的精度至少和漸近修正的有限差分或有限元方法是一樣的，而且對于很多變系數(shù)問題可以達(dá)到指數(shù)精度。
　　 最后，本文還給出了SL算子的高精度微分矩陣逼近的幾個重要應(yīng)用。一類應(yīng)用就是求解特征譜問題，如Schr(o)dinger算子的特征譜計算、

6、波導(dǎo)的模式計算等本質(zhì)上都是求解一個SL問題。特別地，本文從算子譜逼近的角度研究了人工邊界條件和完美匹配層PML，并基于此得到一個波導(dǎo)模式計算的統(tǒng)一算法，高精度計算了一直以來難以計算的泄露模。另一類應(yīng)用是求解包含SL算子的其它微分方程。特別地，本文從算子譜逼近的角度討論了高波數(shù)Helmholtz方程的數(shù)值求解存在困難的原因，并利用微分矩陣給出了高精度的求解結(jié)果；用高精度的微分矩陣逼近二階時間演化偏微分方程和單向Helmholtz方程中的S