亞純函數(shù)及其微分、q差分多項(xiàng)式的唯一性.pdf

1、上世紀(jì)二十年代,芬蘭數(shù)學(xué)家R.Nevanlinna建立了該世紀(jì)最為重要的數(shù)學(xué)理論之一,即復(fù)平面C上的亞純函數(shù)值分布理論[10,30](即Nevanlinna理論),以兩個(gè)基本定理為核心內(nèi)容,即Nevanlinna第一及第二基本定理.該理論自確立后不斷自我完善和發(fā)展,同時(shí)廣泛的應(yīng)用到其他的復(fù)分析領(lǐng)域,如亞純函數(shù)的唯-性理論,復(fù)微分及差分方程理論,正規(guī)族理論,多復(fù)變理論等.
　　 復(fù)平面C上的亞純函數(shù)唯-性理論[10,41]是伴隨著

2、Nevanlinna理論的發(fā)展而出現(xiàn)的.R.Nevanlinna首先給出了著名的Nevanlinna五值(四值)定理,即兩個(gè)亞純函數(shù)如果分擔(dān)擴(kuò)充復(fù)平面上的五個(gè)(四個(gè))判別的值,則他們相等(互為線性變換).這兩個(gè)定理是亞純函數(shù)唯一性理論研究的起點(diǎn),隨后國內(nèi)外眾多數(shù)學(xué)家和學(xué)者致力于此領(lǐng)域的研究,取得了豐碩的研究成果.經(jīng)過幾十年的發(fā)展,逐漸形成了亞純函數(shù)唯-性理論.
　　 復(fù)差分方面的Nevanlinna理論是最近才確立的.其中,最關(guān)

3、鍵的結(jié)果是差分對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)引理,Halburd-Korhonen[28]和Chiang-Feng[25]給出了這個(gè)引理的兩種表達(dá)形式.Halburd-Korhonen[26]在差分算子的基礎(chǔ)上建立了Nevanlirma理論.Ishizaki-Yanagihara[31]研究了差分方程慢增長的解的性質(zhì),并且給出了在微分方程中著名的Wiman-Valiron理論的差分定理.Bergweiler和Langley[24]研究了慢增長的亞純函數(shù)的差分

4、算子的值分布論.
　　 本文主要包括作者在導(dǎo)師楊連中教授的指導(dǎo)下得到的關(guān)于亞純函數(shù)及其微分、q差分多項(xiàng)式的唯-性理論的幾個(gè)結(jié)果.論文的結(jié)構(gòu)如下安排:
　　 第一章概述了本文的研究背景,R.Nevanlinna基本的理論,以及后面兩章中用到的唯-性的結(jié)論和一些記號(hào).
　　 第二章主要研究了亞純函數(shù)及其微分多項(xiàng)式分擔(dān)小函數(shù)的唯-性問題,推廣并改進(jìn)了I.Lahiri,張慶彩等人的結(jié)果,主要結(jié)果如下:
　　 定理

5、1.設(shè)f是一個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù),Q[f]是一個(gè)非常數(shù)微分多項(xiàng)式,次數(shù)是d,權(quán)是Г.設(shè)a(z)是f的小函數(shù),且a(z)≠0,∞.假設(shè)f-a和Q[f]-a分擔(dān)(0,l)且(n-1)d≤∑nj=1dMj,則以下假設(shè)之一成立時(shí),Q[f]-a/f-a=C(其中C是非零常數(shù)).
　　 (1)l≥2且2-N(r,f)+N2(r,1/Q)+N2(r,1/(f/a)')＜(λ+o(1))T(r,Q),
　　 (2)l=1且2-N(r,f)+

6、N2(r,1/Q)+2-N(r,1/(f/a)')＜(λ+o(1))T(r,Q),
　　 (3)l=o且4-N(r,f)+3N2(r,1/Q)+2-N(r,1/(f/a)')＜(λ+o(1))T(r,Q).
　　 其中r∈I,0＜λ＜1且I是一個(gè)線性測度無窮的集合.
　　 第三章主要研究了零級(jí)亞純函數(shù)及其q差分多項(xiàng)式分擔(dān)小函數(shù)的唯一性問題,得到的主要結(jié)果如下:
　　 定理2.設(shè)f(z)為零級(jí)超越整函數(shù),a

7、(z)∈S(r,f),q為非零復(fù)數(shù),n為正整數(shù),則在對(duì)數(shù)密度為1的集上,當(dāng)m(P)＞0時(shí),P(f)f(qz)-a(z)有無窮多個(gè)零點(diǎn).
　　 定理3.設(shè)f(z)和9(z)為兩個(gè)零級(jí)超越整函數(shù),q為非零復(fù)數(shù),a(z)是f(z)和g(z)的小函數(shù).如果n≥5s(P)+7m(P)+5,s(p)+m(p)≥2,且P(f)f(qz)與P(g)g(qz)IM分擔(dān)a(名),則在對(duì)數(shù)密度為1的集上,下列結(jié)論之一成立:
　　 (1)f≡t

8、g,其中t為常數(shù)滿足td=1,d=(i+1...,k,...,n+1)(ak≠0),ai是從右邊數(shù)第一個(gè)非零系數(shù).
　　 (2)f,g滿足代數(shù)方程P(f)f(qz)-P(g)g(qz)≡0.
　　 推論1.設(shè)f(z)和g(z)為兩個(gè)零級(jí)超越整函數(shù),q為非零復(fù)數(shù),a(z)是f(z)和g(z)的小函數(shù).如果n≥4m+12,且f(z)n(f(z)m-1)f(qz)與g(z)n(g(z)m-1)g(qz)IM分擔(dān)a(z),則在對(duì)

9、數(shù)密度為1的集上,f≡tg,其中t為常數(shù)滿足tm=tn+1=1.
　　 定理4.設(shè)f是一個(gè)零級(jí)非常數(shù)亞純函數(shù),|q|(＞1)為非零復(fù)數(shù),且F=P(f).如果F(z)與F(qz)分擔(dān)a(z)∈S(r,f)\{0}和∞CM,則當(dāng)n≥3(s(P)+m(P))+1時(shí),下列結(jié)論之一成立:
　　 (1)f(qz)三ωf(z),其中ω為常數(shù)滿足ωd=1,d=(i+1,...,k,...,n+1)(ak≠0),ai是從右邊數(shù)第一個(gè)非零系

10、數(shù).
　　 (2)f滿足代數(shù)方程P(f(z))≡P(f(gz)).
　　 推論2.設(shè)f是一個(gè)零級(jí)非常數(shù)整函數(shù),|g|(＞1)為非零復(fù)數(shù),且F=P(f).如果F(z)與F(qz)分擔(dān)a(z)∈S(r,f)\{0}和∞CM,則當(dāng)n≥2(s(P)+m(P))+1時(shí),下列結(jié)論之一成立。
　　 (1)f(qz)三ωf(z),其中ω為常數(shù)滿足ωd=1,d=(i+1,...,k,...,n+1)(ak≠0),ai是從右邊數(shù)第一