高振蕩問題的高效數(shù)值方法研究.pdf

1、高振蕩問題如高振蕩數(shù)值積分、高振蕩微分、積分方程數(shù)值解等廣泛存在于量子化學、信號處理、醫(yī)療圖像、分子動力學、流體力學等眾多問題中，是公認的數(shù)學難題之一.本篇博士學位論文主要研究了高振蕩問題的高效數(shù)值方法以及與高振蕩相關(guān)的數(shù)值逼近問題.高振蕩問題部分主要研究了高振蕩函數(shù)數(shù)值積分如Fourier型和Bessel型積分，高振蕩函數(shù)的Cauchy主值的計算以及具有高振蕩Bessel核的Volterra第一型積分方程的數(shù)值解問題.逼近部分的研究主

2、要包括Legendre系數(shù)的衰減估計和實現(xiàn)Legendre插值的快速穩(wěn)定算法.全文由如下部分組成：
　　 第一章簡述了高振蕩問題的應(yīng)用背景和研究的意義.第二章介紹了近年來發(fā)展起來的幾種高振蕩積分的高效算法，如漸近方法、Filon型方法、Levin型方法、廣義積分法則以及數(shù)值最速下降法等.
　　 第三章討論了高振蕩積分的Levin迭代法.對于Fourier型積分，當被積函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)沒有駐點時，證明了Levin迭代法與漸

3、近方法的等價性，同時將Levin迭代法推廣到高振蕩Bessel型積分.
　　 第四章主要討論了以下形式的高振蕩有限Hilbert變換的計算，()提出了計算該型積分的三種新的算法.當函數(shù)f(x)在包含積分區(qū)間[-1，1]的一個充分大的復(fù)平面鄰域內(nèi)解析時，提出了一種可以利用經(jīng)典的Gauss-Laguerre積分法則實現(xiàn)的數(shù)值最速下降法，此方法的精度隨振蕩頻率ω的增加而快速提高.當f(x)在包含積分區(qū)間[-1，1]的一個小的鄰域內(nèi)解析

4、時，提出了一種基于Chebyshev插值的快速實現(xiàn)算法，該算法可以由三項遞推以及快速Fourier變換高效的實現(xiàn).同時證明了所提出的Chebyshev插值型算法逼近振蕩Hilbert變換是一致收斂的，也就是其誤差界與τ無關(guān).在前面兩種方法的基礎(chǔ)上，我們將Filon型方法推廣到了當前積分的計算，F(xiàn)ilon型方法不要求函數(shù)f(x)解析，它可以由遞推關(guān)系快速的計算并且其精度隨頻率ω的增加而快速提高.
　　 第五章主要研究了一個具有高振

5、蕩Bessel核的第一類Volterra卷積型積分方程的數(shù)值解問題.首先證明了對于積分區(qū)間含O的高振蕩Bessel型積分，積分的漸近展開與Bessel函數(shù)的階的關(guān)系，特別的，當Bessel函數(shù)的階為整數(shù)時，提高了漸近方法以及Filon型方法的誤差階的估計.利用這個新的結(jié)果，研究了具有高振蕩Bessel核的第一型Volterra積分方程的漸近展開和數(shù)值方法.首先利用Laplace變換技術(shù)將積分方程的解轉(zhuǎn)化為一個高振蕩的Bessel積分，然

6、后利用提高的漸近展開給出了積分方程解的漸近展開.進一步還設(shè)計了一種計算積分方程解的Filon型方法，F(xiàn)ilon型方法是一種對于固定頻率收斂的方法，并且其精度可以用增加導(dǎo)數(shù)插值或增加插值節(jié)點而快速提高.
　　 第六章主要研究了Legendre逼近問題.首先建立了Legendre系數(shù)的衰減估計，得到了Legendre的截斷級數(shù)展開的誤差估計.其次研究了Legendre插值公式的快速穩(wěn)定算法.眾所周知，Chebyshev插值公式可以通

7、過其重心形式使用O(n)次運算量快速并且穩(wěn)定的實現(xiàn)，然而對于Legendre插值公式的研究卻沒有Chebyshev插值那樣受到重視.在本章中，我們使用Gauss-Legendre積分法則的節(jié)點和權(quán)顯式的構(gòu)造了Legendre重心權(quán)的顯式形式，因此先使用Glaser-Liu-Rokhlin算法計算Gauss-Legendre積分法則的節(jié)點和權(quán)，這需要O(n)次運算量，然后再計算Legendre的重心權(quán)，從而Legendre插值公式可以用O