小除數(shù)理論與迭代泛函方程的解析解.pdf_第1頁(yè)
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1、動(dòng)力系統(tǒng)是研究事件怎樣隨時(shí)間變化而改變的規(guī)律的,特別是在天文、物理、生物學(xué)等領(lǐng)域的研究中,經(jīng)常用到與之相關(guān)的數(shù)學(xué)模型。通過(guò)研究這些模型,我們可以找到現(xiàn)在發(fā)生的事情與將要發(fā)生的事情之間的關(guān)系,由這種關(guān)系,我們便能夠推測(cè)在未來(lái)的時(shí)間里會(huì)發(fā)生什么。根據(jù)系統(tǒng)變化的規(guī)律可分為連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)和離散動(dòng)力系統(tǒng)。其中,迭代扮演著重要的角色,有著舉足輕重的作用。
   在動(dòng)力系統(tǒng)中許多穩(wěn)定性問(wèn)題都要面對(duì)小除數(shù)帶來(lái)的困難,最著名的例子便是上個(gè)世紀(jì),由K

2、olmogorov,Arnold,Moser創(chuàng)立的KAM理論,該理論主要考慮擬可積哈密頓系統(tǒng)擬周期解的保持性問(wèn)題。對(duì)于一維解析小除數(shù)問(wèn)題的研究已有許多結(jié)果,值得一提的是意大利數(shù)學(xué)家S.Marmi和法國(guó)數(shù)學(xué)家J.C.Yoccoz[98,99,186],他們的相關(guān)成果推動(dòng)了這一領(lǐng)域的研究。其中最佳算數(shù)性條件,到目前為止,在局部范圍上的討論所使用的還是40年前由Brjuno引入的條件(以下簡(jiǎn)稱Brjuno條件);在全局范圍里,則主要是由J.C

3、.Yoccoz引入的限制性條件,但其給出的限制性條件較多,所以如何減少這些限制性條件仍是一個(gè)問(wèn)題。事實(shí)上,一維小除數(shù)問(wèn)題在局部可看成是映射的共軛問(wèn)題,即f(h(z))=h(g(z)),此處g(z)=qz,進(jìn)一步又可歸結(jié)為f的線性化問(wèn)題。而為此,使用實(shí)數(shù)的連分?jǐn)?shù)展開(kāi)的相關(guān)理論成為研究這個(gè)問(wèn)題的重要工具之一,故在文中,我們將簡(jiǎn)要介紹連分?jǐn)?shù)的有關(guān)概念。
   本論文主要研究了幾類方程局部解析解的存在性問(wèn)題,討論了四類方程解析解的存在性

4、和解的顯示結(jié)構(gòu)。作者利用Schroder變換,冪級(jí)數(shù)理論研究了這幾類方程的局部解析解。在方法上要求其解在不動(dòng)點(diǎn)處的特征值不在單位圓上或在單位圓上但滿足Brjuno條件。當(dāng)特征值處于單位圓周上時(shí),由于形式解的優(yōu)級(jí)數(shù)中出現(xiàn)1/1-qn(小除數(shù)問(wèn)題),給我們判斷形式解的收斂性造成了困難。這時(shí),我們利用Brjuno條件克服了這個(gè)困難。此外,我們還在所謂共振情況下考慮了解析解的存在性問(wèn)題。綜上所述,我們?cè)谌缦聴l件下考慮了幾類方程的局部解析解,其中

5、q為解在不動(dòng)點(diǎn)處的特征值:
   全文的結(jié)構(gòu)安排如下:
   在第一章中,我們主要介紹小除數(shù)理論、迭代函數(shù)方程、迭代泛函微分方程和q-差分方程的主要概念,近幾年在該方面的研究成果及必要的理論基礎(chǔ)。
   第二章討論了一類關(guān)于變系數(shù)多項(xiàng)式型迭代函數(shù)方程的解析解。關(guān)于這類方程的研究已有很多結(jié)果([34,84,134,156,193,197]),本文進(jìn)一步改進(jìn)和推廣了現(xiàn)有結(jié)果。實(shí)際上我們?cè)趶?fù)域上考慮了一類更一般的變系數(shù)

6、多項(xiàng)式型迭代函數(shù)方程:的局部可逆解析解問(wèn)題.顯然,當(dāng)令vi(z),i=1,...,n分別為0,z,f(z)時(shí)便可得到上述文獻(xiàn)中所提及的多項(xiàng)式型迭代方程.我們利用冪級(jí)數(shù)理論和小除數(shù)理論考慮了該方程解的特征值在不同位置時(shí)局部解析解的存在性問(wèn)題,特別是我們還考慮了利用Abel變換得到與Schroder變換類似的結(jié)論。
   在第三、四兩章中,我們分別考慮了如下兩類泛函微分方程的局部解析解問(wèn)題:分別推廣了司建國(guó)和作者本人以前的工作及他人

7、的一些結(jié)果。第一個(gè)方程是一類在數(shù)論中有重要作用的方程的推廣,它與著名的Golomb序列有密切的聯(lián)系([54,58,100,103],[123]-[126])。這里,我們通過(guò)類似作者先前的工作對(duì)該方程進(jìn)行了討論。對(duì)于第二個(gè)方程,由于內(nèi)層函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù),我們首先通過(guò)變量代換、積分變換等技巧將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)迭代方程。進(jìn)一步,利用我們前面的方法,討論這個(gè)迭代微分方程的解析解問(wèn)題。最后,我們舉例說(shuō)明可用這種方法來(lái)求得原方程的解析解,并能具體表達(dá)出

8、該解析解的顯示形式。
   q-差分方程解析解的研究由來(lái)已久,本文在第五章首先回憶q-差分方程的一些結(jié)果,進(jìn)而在原點(diǎn)附近考慮了一類q-差分方程:的解析解問(wèn)題。針對(duì)已知函數(shù)Ct,j(z),G(z)是有極點(diǎn)的情況,我們首先將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)不含極點(diǎn)的q-差分方程,進(jìn)而對(duì)q在不同的位置進(jìn)行討論。由于q的位置與其對(duì)應(yīng)的θ值有關(guān),而θ的值又和其連分?jǐn)?shù)有密切的聯(lián)系,所以我們?cè)诳紤]形式解是否收斂時(shí),只要對(duì)θ的連分?jǐn)?shù)進(jìn)行討論即可。在本章我們不僅考慮

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