幾類非線性微分方程邊值問題的可解性.pdf

1、在本文中，我們主要應用非線性泛函分析中的半序理論，錐拉伸與錐壓縮不動點理論，對一些非線性邊值問題進行討論，全文共分為五章。 第一章是本文的緒論部分.主要介紹了本文的研究課題. 第二章主要考慮p-laplacian算子型奇異邊值問題 {(φ)(u'))'+q(t)f(t,u)=0t∈(0,1)lim→0+φp(u'(t))=u(1+)θ(limt→φp(u'(t)))=0其中φp(s)=|s|p-2s，p＞1在u=

2、0，t=0，1可以有奇性.在如下條件下：(H1)q∈c(0，1)，且在(0,1)上，q＞0，且∫1/20φq(∫1/2sq(r)dr)ds+∫11/2φ(q)(∫s1/2q(r)dr)ds＜∞，(H2)f：[0，1]×(0，∞)→R是連續(xù)的.θ：R→R是連續(xù)的不減函數(shù)，且θ(0)=0，(H3)有一個不增的序列ρn滿足limn→∞=0，且對1/n≤t≤1，q(t)f(t，ρn)≥0，其中n=3，4，…，(H4)存在一個函數(shù)α∈c[0，1]

3、∩c1(0，1)，φp(α')∈c1[0，1]limt→0+φp(α(t))=()limt→1φp(α'(t)))+α(1)=0在[0，1)上α＞0，對n=3，4，…，q(t)f(t，u)+φp(α'(t))'＞0(t，u)∈[1/n，1)×0＜u＜α(t)q(t)f(1/n，u)+φp(α'(t))'＞0(t，u)∈(0，1/n)×0＜u＜α(t)(H5)對每個n=3，4，…，存在一個函數(shù)列βn∈c[0,1]∩c1(0，1)，φp(β

4、n')∈c1[0，1]limt0+→φp(β'n(t))≤0，θ(limt→1-φp(β'n(t)))+βn(1)≥ρn在[0，1]上βn(t)≥ρn；()t∈[1/n，1)，q(t)f(t,βn(t))+(φpβ'n(t))'≤0()t∈(0，1/n]，q(t)f(1.b,βn(t)+(φpβ'n(t))'≤0(H6)sup{maxt∈[0,1]βn(t)|n=3，4，…}＜+∞(H7)φq(∫10q(s)g(α(s))ds)＜+∞考

5、慮問題(2.1.1)正解的存在性.得出如下結論：定理2.2.2設(H1)-(H7)成立，那么問題(2.1.1)有一個解u∈c[0，1]∩c1(0，1)，φp(u')∈c1(0，1)，且在[0，1]上u(t)≥α(t).第三章主要考慮p-laplacian算子型奇異邊值問題{(φp(x'))'+a(t)f(x(t))=0,t∈(0,1),αx(0)-βx'(0)=0,rx(1)+δx'(1)=0.其中φp(s)=|s|p-2s，p＞1，α

6、，γ＞0，β，δ≥0，f∈C([0，∞))，a(t)在[0，1/2]上有可數(shù)個奇性點.在條件(H)存在數(shù)列{ti}∞i=1，使得ti+1＜ti，(i∈N)，t1＜1/2，limi→∞ti=t*≥0，limt→tia(t)=+∞()i=1，2，…，0＜∫10a(s)ds＜+∞.(3.2.0)并且在[0，1]的任何子區(qū)問上a(t)不恒為零.得出主要結果：定理3.2.2假設條件(H)滿足，存在{μk}∞k=1，使得μk∈(tk+1，tk)，k

7、=1，2，…，令{Rk}∞k=1和{rk}∞k=1，滿足Rk+1＜μkr(k)＜r(k)＜∧1rk＜Rk，k=1，2…，其中∧1∈(2/L，+∞).對任意的自然數(shù)k，假定f滿足：(H1)f(x)≥(∧1rk)p-1，()x∈[μkrk，rk]，(H2)f(x)≤(∧2Rk)p-1，()x∈[0，Rk]，其中0＜∧2＜{(β/α+1)φq(∫10a(s)ds)}-1則(3.1.1)有無限多個正解{xi}∞i=1，且滿足ri≤‖xi‖≤Ri

8、，()i=1,2….第四章主要考慮p-laplacian算子型方程組邊值問題{(φp(x'))'+f(t,x,y)=0,t∈(0,1)(φp(x'))'+g(t,x,y)=0,t∈(0,1)在如下邊值條件{α1φp(x(0))-β1φp(x'(0))=0,r1φp(x(1))+δ1φp(x'(1))=0,α2φp(y(0))-β2φp(y'(0))=0,r2φp(y(1))+δ2φp(y'(1))=0,下的解的存在性.其中，φp(s)=

9、|s|p-2s，p＞1，αi＞0，βi≥0(i=1，2)ri＞0δi≥0(i=1，2)f，g∈c([0，1]*[0，∝]*[0，∝)，[0，∝))在如下條件成立時：(H)若x(t)，y(t)∈K，那么x(t)+y(t)≥ζ(‖x‖+‖y‖)t∈[ζ，1-ζ]其中ζ∈(0，1/2)是常數(shù).得出主要結果：定理4.2.1假設存在兩個不同的正常數(shù)λ和η，使得f(t，x(t)，y(t))≤φp(m1λ)，0≤t≤1，0≤x，y≤λ/2，(4.2.

10、1)g(t，x(t)，y(t))≤φp(m2λ)，0≤t≤1，0≤x，y≤λ/2，(4.2.2)并且f(t，x(t)，y(t))≥φp(lη)，θ≤t≤1-θ，θη≤x+y≤η，(4.2.3)或g(t，x(t)，y(t))≥φp(lη)，θ≤t≤1-θ，θη≤x+y≤η，(4.2.4)成立.那么邊值問題至少存在一個正解而且介于λ和η之間.定理4.3.1假設存在λ＞0，使(4.2.1)(4.2.2)成立，且滿足下列條件：(H3)f0(t)

11、≥φp(l/θ)，當θ≤t≤(1-θ)，或者g0(t)≥φp(1/θ)，當θ≤t≤(1-θ)，(H2)f∞(t)≥φp(l/θ)，當θ≤t≤(1-θ)，或者g∞(t)≥φp(l/θ)，當θ≤t≤(1-θ)，之一成立，則邊值問題(4.1.1)-(4.1.2)存在兩個解.定理4.3.2假設存在η＞0，使得(4.2.3)(4.2.4)之一成立，且滿足下列條件：(H1)f0(t)≤φp(m1)，0≤t≤1，g0(t)≤φp(m2)，0≤t≤1,

12、(H4)f∞(t)≤φp(m1)，0≤t≤1，g∞(t)≤φp(m2)，0≤t≤1，則存在兩個正解(x1，y1)，(x2，y2)，使得‖(x1，y1)‖≤η≤‖(x2，y2)‖.第五章本文考慮二階奇異邊值問題{u″+f(t,u)=0,t∈(0,1),αu(0)-βu'(0)=0,ru(1)+δu'(1)=0其中α，γ＞0，β，δ≥0，ρ：=βγ+αγ+αδ＞0，f(t，u)∈C([0，∞)，[0，∞))(H)在t=0，1可以有奇性.得出

13、主要結果如下：定理5.2.1假設存在兩個不同的正常數(shù)λ和η，使得(h1)f(t，u)≤mλ0≤t≤1，0≤u≤λ，(h2)f(t，u)≥lηθ≤t≤1-θ，θη≤u≤η.那么邊值問題(5.1.1)至少存在一個解u(t)介于λ和η之間.定理5.3.1假設存在λ＞0，使得條件(h1)成立，且滿足下列條件f0(t)≥l/θ，θ≤t≤1-θ；f∞(t)≥l/θ，θ≤t≤1-θ，(5.3.1)那么問題(5.1.1)至少存在兩個正解u1，u2滿足0

14、＜‖u1‖＜λ＜‖u2‖.定理5.3.2假設存在η＞0，使得條件(h2)成立，且滿足條件f0(t)≤m，0≤t≤1，f∞(t)≤m，0≤t≤1，(5.3.2)那么邊值問題.(5.1.1)至少存在兩個解u1，u2，使得0＜‖u1‖＜η＜‖u2‖.定理5.3.3假設條件(H1)，(H2)成立，且存在常數(shù)0＜λ1＜λ2使得條件(h1)對于λ=λ2(λ=λ1)成立，條件(h2)對于η=λ1(η=λ2)成立，那么邊值問題(5.1.1)至少存在三個

15、正解u1，u2，u3，滿足0＜‖u1‖＜λ1＜‖u2‖＜λ2＜‖u3‖.定理5.3.4令n=2k+1，k∈N，，假設(H1)，(H2)成立，并存在常數(shù)0＜λ1＜λ2＜…＜λn-1，使條件(h2)((h1))對于λ2i-1，1≤i≤k成立，條件(h1)((h2))對于λ2i，1≤i≤k成立，那么邊值問題(5.1.1)至少存在n個正解u1，u2，…un，滿足0＜‖u1‖＜λ1＜‖u2‖＜λ2＜…＜‖un-1‖＜λn-1＜‖un‖.定理5.3