有限群關(guān)于特征標(biāo)的數(shù)量關(guān)系與群的結(jié)構(gòu).pdf

1、本文討論了有限群關(guān)于特征標(biāo)的某些數(shù)量關(guān)系與群的結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系.在第2節(jié)里，我們定義μ(G)=|G|/|Irr(G)|，研究μ(G)的數(shù)量性質(zhì)以及在適當(dāng)條件下μ(G)對(duì)群的結(jié)構(gòu)的影響，并得到以下定理： 定理2.1設(shè)p為|G|的最小素因子，設(shè)cd(G)={1，m1，m2，…，md}，1＜m1＜m2＜…＜md則μ(G)≥|G'|m21/m21+|G'|-1.特別地，μ(G)≥pm21/m21+p-1，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)d=1且|G'|=

2、p. 定理2.2若群G不可解，則μ(G)≥12，且μ(G)=12當(dāng)且僅當(dāng)G()A5×A，A為交換群. 定理2.3若群G不可解，則μ(G)≥120/7，除非G()A5×A，或有N()G，使G/N()SL(2，5).其中A是交換群. 定理2.4設(shè)G是非交換有限群，(1)若|G/G'|=2，則μ(G)≥2，且μ(G)=2當(dāng)且僅當(dāng)G()S3. (2)若|G/G'|=3，則μ(G)≥3，且μ(G)=3當(dāng)且僅當(dāng)G()

3、A4. 同時(shí)，也討論了μ(G)為某些較小整數(shù)時(shí)群G的結(jié)構(gòu)和性質(zhì).如：定理2.5設(shè)G是非交換有限群，則下列條件等價(jià)：(1)μ(G)=2；(2)cd(G)={1，2}且|G'|=3；(3)G/Z(G)()S3. 定理2.6G是有限群，則μ(G)=3當(dāng)且僅當(dāng)G/Z(G)()A4，D18，或＜a，b，c|a3=b3=c2=1，ab=ba，c-1ac=a-1，c-1bc=b-1＞.且對(duì)任意的x，y∈G，[x，y](-∈)Z*(G)

4、. 定理2.7設(shè)mincd1(G)≥3，則μ(G)=4當(dāng)且僅當(dāng)G/Z(G)是20階Frobenius群，以G'×Z(G)/Z(G)為核，其補(bǔ)是4階循環(huán)群. 因?yàn)棣?G)是大于等于8/5的有理數(shù).我們自然會(huì)問(wèn)：是不是每個(gè)大于等于8/5的有理數(shù)a，都有群G使得μ(G)=a?關(guān)于這個(gè)問(wèn)題我們有以下結(jié)果：命題2.1μ(G)≠7/3. 命題2.2若G是奇階群，則μ(G)≠5. 命題2.3若G是奇階群，則μ(G)≠7

5、. 命題2.4若p是一個(gè)素?cái)?shù)，則存在群G,使μ(G)=p-1.若n=∏p(p-1)，則存在群G，使μ(G)=n. 在第3節(jié)里，將利用軌道核研究當(dāng)|cd(G)|=|G’|時(shí)群G的結(jié)構(gòu)，得到如下兩個(gè)定理：定理3.1G為有限群，且|cd(G)|=|G'|，則G'≤Z(G)，且G’為2-群. 定理3.2G為非交換有限群，且|cd(G)|=|G'|,則(1)G'()Z2當(dāng)且僅當(dāng)Irr1(G)的每個(gè)軌道核為1. (2

6、)G'()Z4當(dāng)且僅當(dāng)Irr1(G)恰有一個(gè)軌道核不為1. (3)G'()Z2×Z2或G'()Z8當(dāng)且僅當(dāng)Irr1(G)恰有3個(gè)軌道核不為1.并且G'()Z2×Z2當(dāng)且僅當(dāng)這3個(gè)軌道核互不相等. G'()Z8當(dāng)且僅當(dāng)這3個(gè)軌道核中恰有兩個(gè)軌道核是相等的. 在文獻(xiàn)[9]中，Y.Berkovich給出了χ(1)素因子個(gè)數(shù)的一個(gè)上界，我們?cè)诘?節(jié)里對(duì)此結(jié)論進(jìn)行了推廣，并得到：定理4.1G為有限可解群，χ，ψ∈Irr1(