關(guān)于多參數(shù)等變分歧問題的開折、穩(wěn)定性及識別.pdf

1、1979年，Golubitsky M.和Schaeffer D.G引入了應(yīng)用奇點(diǎn)理論和群論方法研究分歧問題的思想。對分歧問題進(jìn)行研究所使用的工具主要來自光滑映射芽的奇點(diǎn)理論中的相關(guān)技巧，研究內(nèi)容包括以下幾個(gè)方面： 第一分歧問題的開折。它研究分歧問題在一般擾動下的變化狀態(tài)，如果一個(gè)分歧問題存在通用開折，那么經(jīng)過擾動后產(chǎn)生的每一個(gè)開折都可以由它的通用開折導(dǎo)出，這說明研究分歧問題的通用開折是非常有意義的。對于含一個(gè)分歧參數(shù)的等變分歧問

2、題，當(dāng)它的狀態(tài)空間與靶空間相同時(shí)，Golubitsky M.,Stewart Ⅰ.和Schaeffer D.G.給出了通用開折定理。其后，許多學(xué)者對此繼續(xù)研究。特別在國內(nèi)，李養(yǎng)成教授帶領(lǐng)他的研究生建立了各種形式的通用開折定理。 第二分歧問題及其開折的穩(wěn)定性。對光滑映射芽的各種穩(wěn)定性的討論是奇點(diǎn)理論的一個(gè)重要部分。利用奇點(diǎn)理論的技巧，LavassaniL.和 Lu Y.C.研究了等變分歧問題及其開折的穩(wěn)定性，劉恒興、張敦穆教授則討

3、論了等變分歧問題開折的(r，s)-穩(wěn)定性。 第三分歧問題的識別與分類。為探討一個(gè)分歧問題在什么條件下等價(jià)于給定的標(biāo)準(zhǔn)形式，必須尋找這些標(biāo)準(zhǔn)形在等價(jià)群作用下的軌道特征。借助于奇點(diǎn)理論中的一個(gè)基本概念(有限決定性)，這一問題常?？梢赞D(zhuǎn)化為有限維的情形來處理。等價(jià)群模去高階項(xiàng)將以Lie群方式作用在一個(gè)有限維空間上，因而可以將軌道描述成由一些這樣的映射芽組成，它們的Taylor系數(shù)滿足有限多個(gè)多項(xiàng)式約束，并以方程或不等式形式表示，這正是

4、識別問題的解。在分歧問題的識別研究中，Gaffney T.引入了冪單代數(shù)群和冪零Lie代數(shù)作為研究工具，建立了多參數(shù)等變分歧問題的D(Γ)-等價(jià)理論；Melbourne Ⅰ.研究了含一個(gè)分歧參數(shù)的等變分歧問題，建立了U(Γ)-等價(jià)理論；李養(yǎng)成教授則更一般地建立了多參數(shù)等變分歧問題的U(Γ)-等價(jià)理論。研究分歧問題在等價(jià)意義下有幾類，是一個(gè)非常有意義但又很棘手的問題。到目前為止，只解決了幾類分歧問題在低余維數(shù)條件下的識別與分類問題。

5、 通常，對分歧問題的研究不考慮分歧參數(shù)的對稱性，即使考慮，也僅限于分歧參數(shù)與狀態(tài)變量具有相同的對稱性，而且常將所有狀態(tài)變量同等對待而不加區(qū)別。本文則在更一般情形下研究分歧參數(shù)與狀態(tài)變量均具有對稱性的靜態(tài)多參數(shù)等變分歧問題，其中分歧參數(shù)所具有的對稱性可以與狀態(tài)變量所具有的對稱性不同，而且將狀態(tài)變量分為兩組，區(qū)別對待，其中一組中的諸狀態(tài)變量可以獨(dú)立變化，而另一組中諸狀態(tài)變量在變化過程中則依賴于前一組中的變量。 本文第一章研究上述分

6、歧問題在接觸等價(jià)群作用下的開折，借助于Damon J.所提供的DA-代數(shù)工具，去掉了前述各種形式的通用開折定理中對分歧問題的余維數(shù)的較強(qiáng)要求，僅在余維數(shù)有限的前提下得到了通用開折定理，從而所得結(jié)果包含了許多已有的相應(yīng)結(jié)果。 本文第二章進(jìn)一步研究在接觸等價(jià)群作用下上述等變分歧參數(shù)及其開折的穩(wěn)定性問題，得到了這類分歧問題是穩(wěn)定的等價(jià)于它是無窮小穩(wěn)定的結(jié)論，并且用橫截性條件刻畫了這類分歧問題的穩(wěn)定性。 本文第三章繼續(xù)利用奇點(diǎn)理

7、論中光滑映射芽的接觸等價(jià)，研究狀態(tài)變量和分歧參數(shù)均具有對稱性的等變分歧問題，得到了狀態(tài)變量具有D<,6>對稱性、分歧參數(shù)具有Z<,2>，對稱性的等變分歧問題的兩個(gè)識別條件，所得結(jié)果是進(jìn)一步對這類分歧問題分類的基礎(chǔ)。 本文第四章利用奇點(diǎn)理論中光滑映射芽的左右等價(jià)關(guān)系，討論分歧參數(shù)帶有對稱性的等變分歧問題的開折的穩(wěn)定性，刻畫了無窮小穩(wěn)定開折的特征，并指出該類等變分歧問題關(guān)于左右等價(jià)而言的通用開折必為無窮小穩(wěn)定開折。 本文第五