黎曼流形上次梯度算法的收斂性及其應用.pdf

1、本文研究黎曼流形上的兩類凸優(yōu)化問題，包括凸最優(yōu)化問題和凸可行性問題.如果沒有特別說明，我們總是假設黎曼流形的截面曲率有下界以及相關的函數(shù)是真凸函數(shù)(定義域可以不是整個流形）.在這些假設下，分別研究了流形上的次梯度算法，循環(huán)次梯度投影算法的收斂性;并在一定的假設條件下，得到了循環(huán)次梯度投影算法的線性收斂性結果.主要內容如下.
　　在第二章中，介紹了一些相關背景知識之后，證明了黎曼流形上的基本不等式.
　　在第三章中，提出了兩種

2、不同步長的次梯度算法求解凸最優(yōu)化問題，并證明了收斂性，即文中稱為遞減步長(diminishing)和動態(tài)步長(dynamic).當目標函數(shù)可以寫成一簇真凸函數(shù)的和時，提出增量次梯度算法解凸最優(yōu)化問題并證明了當算法選取遞減步長時的收斂性.最后，我們分別應用遞減步長的次梯度法，增量次梯度算法計算黎曼質心，得到了收斂性定理并與已有方法進行了比較.最后，數(shù)值例子表明算法有效性，同時也表明增量次梯度算法比次梯度法更有效，這一結果與Hilbert空

3、間類似.
　　在第四章中，對一類特殊的凸可行性問題，即每個弱凸集分別是某個真凸函數(shù)的水平集，提出循環(huán)次梯度投影算法并證明了收斂性.在Slater條件下，得到了循環(huán)次梯度投影算法線性收斂的結果，同時給出了有限步停止的算法.進一步，在有界誤差界的條件下也得到了線性收斂的結果.考慮到Hadamard流形上的投影算子是嚴非擴張的，我們把Hilbert空間上的投影算法推廣到了Hadamard流形上，并得到了Hadamard流形上投影算法的收