幾類隨機反應擴散方程的漸近行為.pdf

1、確定性的反應擴散方程在斑圖理論,種群動態(tài)演化等研究中取得了很大成功.例如,對細胞和神經(jīng)等復雜系統(tǒng)和網(wǎng)絡的研究,導致了數(shù)學生物學的誕生.但自然界中的各種系統(tǒng)都有可能受隨機外力,隨機介質,隨機邊界條件和隨機環(huán)境等因素的干擾和影響.近一二十年來,隨機反應擴散方程越來越受到研究人員的關注.本文主要研究幾類隨機反應擴散方程的漸近行為(最后一章也研究了確定性方程的漸近性質),內容包括:無界域上帶加性噪聲隨機反應擴散方程的(L2，H1)-隨機吸引子;

2、有界域上帶乘性噪聲隨機反應擴散方程的(L2，H10)-隨機吸引子;隨機不變集的分形維數(shù);R3中有界域上一類確定性反應擴散方程在空間L2p-2(D)和H2(D)中的指數(shù)吸引子;一類帶參數(shù)的非經(jīng)典擴散方程指數(shù)吸引子的魯棒性等.
　　全文分為三個部分：
　　第一部分主要介紹了無窮維動力系統(tǒng)和隨機動力系統(tǒng)的發(fā)展進程.回顧了隨機吸引子相關概念及已有方法和結論,同時也簡要介紹了本文的研究內容.然后給出了本文中要用到的一些基本概念和結論.

3、
　　第二部分,是本文的核心內容.首先,研究了定義在全空間Rn上帶加性白噪聲的隨機反應擴散方程的(L2，H1)-隨機吸引子的存在性,其中非線性反應項滿足任意的p-1(p≥2)次多項式增長條件.用截斷方法和尾估計方法克服無界域上Sobolev嵌入的非緊性的困難,證明了(L2，H1)-漸近緊性.在利用截斷法證明解在球內部的漸近緊性時,我們建立了一種新的估計,這種估計足夠精細使得我們不需要對方程兩邊求導就可以得到解的漸近緊性.
　

4、　其次,證明了有界域D包含于Rn上帶乘性白噪聲的隨機反應擴散方程的(L2，H10)-隨機吸引子的存在性.與有界域上加性噪聲的情況相比,乘性噪聲的情形更為復雜,需要對隨機系數(shù)和Gronwall型不等式作更精細的估計.
　　然后,給出了一個新的關于隨機不變集分形維數(shù)的上界估計.這是確定性結論在隨機情況下的推廣.與確定性情形不同的是,隨機不變集及其覆蓋是隨時間變化而變化的,所以這種推廣并非是平凡的,我們利用Poincar′e回歸定理來克

5、服這一困難.所得抽象結論的優(yōu)勢在于它不需要系統(tǒng)的可微性,而且對Banach空間中的問題也成立,從而它有更廣泛的應用.作為應用我們給出了一類隨機半線性退化拋物方程的隨機吸引子的分形維數(shù)估計.
　　最后,研究了確定性反應擴散方程的指數(shù)吸引子.主要結果包括:(1)我們研究了一類R3中有界域上帶非齊次項g的反應擴散方程,其中的非線性項f滿足任意的多項式增長條件.首先我們證明了其解半群在H2(D)范數(shù)拓撲下存在指數(shù)吸引子.其次,給出了一個新