若干自由邊界問題的適定性研究.pdf

1、本文由兩篇組成。在這兩篇中，分別有模型的推導(dǎo)、存在性證明和唯一性證明。我們分別采用了幾種不同的方法給出它們的存在性或唯一性的證明。 第一篇，我們研究MH/Ni電池氫化物電極的充放電過程單相和二相數(shù)學(xué)模型解的適定性問題。其中，唯一性證明在第二章。在該章，我們證明了如下偽二維單相非線性問題(問題P)的古典解的唯一存在性：(P){ut(x，y，t)=uyy(x,y,t)+g(y)uy(x,y,t),0≤x≤1,0＜y＜1,t＞0,uy

2、(x,0,t)=0,0≤x≤1,t＞0,uy(x,1,t)+A(u(x,1,t)exp{Bv}-exp{-Cv})=0,0≤x≤1,t＞0,u(x,y,0)=G,0≤x≤1,0＜y＜1,vxx=d(u(x,1,t)exp{Bv}-exp{-Cv}),0≤x≤1,t＞0,vx(0,t)=0,vx(1,t)=E,t＞0,其中，g(y)=Ly/(yLY+Y0)是[0，1]上的有界連續(xù)函數(shù)。 問題P是由線性拋物方程的第三初邊值問題與常微

3、分方程兩點邊值問題偶合而成的非線性問題，我們已經(jīng)證明了其古典解的存在性，并已另文發(fā)表了該結(jié)論。 眾所周知，非線性問題的唯一性證明，往往沒有雷同的工作可循，我們在本文的該項工作中主要采用積分估計的辦法，同時注意運(yùn)用硬分析技巧得到了結(jié)果。 在本篇的第三章至第五章，我們研究了如下偽二維兩相非線性問題(問題Q)的古典解的存在性問題：(Q){(OB){ut=Dβ[uyy+g(y)uy),inQ1T0={0≤x≤1,0＜y＜s(t)

4、,0＜t＜T0},vt=Dα(vyy+g(y)vy),inQ2T0={0≤x≤1,s(t)＜y＜1,0＜t＜T0},u(x,s(t),t)=v(x,s(t),t)=0,in[0,1]×(0,T0],Dαvy(x,s(t),t)-Dβuy(x,s(t),t)=Ks'(t),in[0,1]×(0,T0],uy(x,0,t)=0,in[0,1]×(0,T0],vy(x,1,t)+Ak(w(x,t),v(x,1,t))=0,in[0,1]×(0

5、,T0],u(x,y,0)=f(x,y),in[0,1]×[0,b],v(x,y,0)=h(x,y),in[0,1]×[b,1],s(0)=b,(QA){wxx=Dk(w(x,t),v(x,1,t)),in[0,1]×(0,T0],wx(0,t)=0,wx(1,t)=E,0＜t＜T0,其中，0＜b＜1，g(y)=LY/(yLY+Y0)，且k(w(x,t),v(x,1,t))=[v(x,1,t)+C2]exp{Bw(x,t)}-exp{-

6、Cw(x,t)},t＞0 問題Q是繼單相放電(問題P)達(dá)到相變臨界值后產(chǎn)生的。我們在該模型的古典解存在性工作中主要采用經(jīng)典先驗估計方法并應(yīng)用Leray-Schauder不動點定理來證明。為此，我們應(yīng)用雙層位勢理論來建立輔助問題QB對已知數(shù)據(jù)的連續(xù)依賴性。 第二篇，我們對正凍土次級凍脹模型進(jìn)行理論研究。鑒于管志成先生等已經(jīng)對由凍結(jié)緣和已凍區(qū)間的數(shù)學(xué)問題作了研究，故我們這里只對未凍區(qū)和凍結(jié)緣間的數(shù)學(xué)問題(問題R)展開研究，即

7、研究如下的問題：(R){H0(u)ut-k0uxx+λ0h'(t)ux=0,inQ1T,H1(u)ut-k1uxx+λ1h'(t)ux=0,inQT2,u(s(t)-0,t)=u(s(t)+0,t)=0,0＜t≤T,k0ux(s(t)-0,t)=k1ux(s(t)+0,t),0＜t≤T,u(0,t)=g0(t),0＜t≤T,u(n10,t)=y(t),0＜t≤T,u(x,0)=u0(x),0＜t＜n10,s(0)=s0,0＜s0＜n10