基于臨界點(diǎn)理論的次二次四階半線性常微分方程周期解的存在性研究.pdf

1、微分方程已成為研究自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的一個(gè)強(qiáng)有力工具，在科技和經(jīng)濟(jì)的發(fā)展過(guò)程中，越來(lái)越多的實(shí)際課題都可以建立關(guān)于四階或者更高階的常微分方程數(shù)學(xué)模型.
　　 經(jīng)典的Fisher-Kolmogorov(FK)[1]方程為(e)u/(e)t=(e)2u/(e)x2+u-u3.
　　 1988年，DeeandVanSaarloos在研究雙穩(wěn)態(tài)物理系統(tǒng)時(shí)建立了ExtendedFisher-Kolmogorov(EFK)[2]方程(

2、e)u/(e)t=-γ(e)4u/(e)t4+(e)2u/(e)t2+u-u3,γ＞0.
　　 1977年，SwiftandHohenberg在研究流體的不穩(wěn)定性時(shí)建立了Swift-Hohenberg(SH)[3]方程(e)u/(e)t=ku-(1+(e)(e)t2)2u-u3,k∈R.
　　 人們感興趣的是以上方程的駐波解，如果引入適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Qw(t，x)=u(t)eikx，k∈R，上述方程可簡(jiǎn)化為下述四階常微分方程

3、u(4)-pu″-u-u3=0.
　　 當(dāng)p＞0時(shí)，方程即為EFK方程;當(dāng)p＜0時(shí)，方程則為相應(yīng)的SH方程.
　　 本文主要是對(duì)下述更一般的四階半線性常微分方程u(4)+Au″+Bu-Vu（t，u）=0(Ⅰ)2T-周期解的存在性進(jìn)行研究，其中A，B是常數(shù)，V(t，u)∈C1([0，T]×R，R)具有以下性質(zhì):(H0)V(t,0)=0,V(t+2T，u)=V(t，u),V(t,-u)=V(t，u),(V)t∈[0，T],u

4、∈R.(H1)2V(t,u)-uVu(t，u)→-∞，｜u｜→∞，t∈[0，T],或2V(t，u)-uVu(t，u)→∞，｜u｜→∞，t∈[0，T].假設(shè)(u)=(u)(t）為邊值問(wèn)題{u(4)+Au″+Bu-Vu(t,u)=0,0＜t＜T,(P)u(0)=u（T）=0，u″(0)=u″(T)=0.的解，那么在區(qū)間[-T，T]上作奇擴(kuò)充(u)=(u)(t){u(t),0≤t≤T,-u（-t），-T≤t≤0.
　　 根據(jù)條件(H0

5、)，(u)=(u)(t)在R上進(jìn)行2T周期擴(kuò)充即可得到方程(Ⅰ)的2T-周期解.
　　 為了研究邊值問(wèn)題(P)的解的存在性，我們將其轉(zhuǎn)化為討論泛函I（u;T）=∫T01/2（u″2-Au′2+Bu2）dt-∫T0V（t，u）dt的非平凡臨界點(diǎn)的存在性，研究空間為X(T)=H2(0，T)∩H10(0，T).此泛函的臨界點(diǎn)即為邊值問(wèn)題(P)的經(jīng)典解.
　　 本文內(nèi)容安排如下:第一章是引言，介紹了本文的研究背景、研究?jī)?nèi)容和相關(guān)