空間形式的圖狀超曲面的若干性質(zhì).pdf

1、子流形幾何是微分幾何的重要研究方向，而超曲面是一類最簡單最重要的子流形.本文研究了球面、雙曲空間及Funk度量空間的圖狀超曲面的幾何性質(zhì).我們主要給出了球面和雙曲空間的圖狀超曲面是全測地的或者極小的充要條件，以及Funk度量空間的圖狀超曲面是局部射影平坦的充要條件.主要結(jié)論如下:
　　定理3.4設(shè)i:Mn→Sn+1(1)，(x1，…，xn)→(x1，…，xn，f(x1，…，xn))為圖狀超曲面.則Mn是全測地的當(dāng)且僅當(dāng)f滿足方程:

2、1+||x||2+f2/2fij+fifj(1-∑sfs)+δij(f-∑sxsfs)=0,其中(x1，…，xn)是Mn中點x的局部坐標，f是關(guān)于變量x1，…，xn的C2函數(shù).
　　定理3.5設(shè)i:Mn→Sn+1(1)，(x1，…，xn)→(x1，…，xn，f(x1，…，xn)）為圖狀超曲面.則Mn是極小的當(dāng)且僅當(dāng)f滿足方程:∑i,j(δij-fifj/1+∑sf2s)[1+||x||2+f2/2fij+fifj(1-∑sfs)+

3、δij（f-∑sxsfs）]=0,其中（x1，…，xn）是Mn中點x的局部坐標，f是關(guān)于變量x1，…，xn的C2函數(shù).
　　定理4.5設(shè)i:Mn→Hn+1，(x1，…，xn)→(x1，…，xn，f(x1，…，xn))為圖狀超曲面.則Mn是全測地的當(dāng)且僅當(dāng)f滿足:f=√-∑i(xi)2+∑icixi+c0,其中(x1,…,xn)是Mn中點x的局部坐標，f是關(guān)于變量x1，…，xn的C2函數(shù)，c0，c1，…，cn均表示常數(shù).
　　

4、定理4.9設(shè)i:Mn→Hn+1，(x1，…，xn)→(x1，…，xn，f(x1，…，xn)）為圖狀超曲面.若f滿足:f=√-∑i(xi)2+∑icixi+c0，則Mn是極小的，其中(x1，…，xn)是Mn中點x的局部坐標，f是關(guān)于變量x1，…，xn的C2函數(shù)，c0，c1，…，cn均表示常數(shù).定理5.4設(shè)θ是n+1維光滑流形N上的Funk度量，i:Mn→N，(x1，…，xn)→（x1，…，xn，f(x1，…，xn)）為圖狀超曲面.則F=i

5、*θ是局部射影平坦的當(dāng)且僅當(dāng)f滿足:(a)(a)Bil/(a)xkyiyk(1-||x||2-f2)+2Bilyi(xk+ ffk)yk-1/2(a)Bil/(a)xlyiyj(1-||x||2-f2)+2Bij（xl+ffl）yiyj]-1/2(a)Bil/(a)xkyiyj(1-||x||2-f2)+2B2(xk+ ffk)]Bilyiyk/B2=0，(b) f∈C2(Mn)，其中（x1，…，xn）是Mn中點x的局部坐標，f是關(guān)于變