高精度小波數(shù)值方法及其在結(jié)構(gòu)非線性分析中的應用.pdf

1、小波數(shù)值方法是近二十多年來發(fā)展起來的一類新興數(shù)值方法。隨著其自身的發(fā)展，小波數(shù)值方法的應用范圍越來越廣泛。而發(fā)展統(tǒng)一求解弱非線性和強非線性問題的小波方法這一重要課題也越來越受到重視。立足于小波封閉解法的基礎之上，本文拓展了小波方法在具有非線性、奇異性及微分積分算子共存的復雜力學問題中的應用。另外，通過改進小波逼近方式和提出新的求解思路，本文針對一般非線性初值問題和邊值問題分別提出了新的高精度小波算法。
　　本文首先介紹了緊支正交的

2、Coiflet小波函數(shù)基及其具有擬插值特性的小波逼近公式，它們是小波封閉解法的理論基礎。接著介紹了構(gòu)造有限區(qū)間上平方可積函數(shù)Coiflet小波逼近公式的邊界延拓技術，它是小波數(shù)值方法的應用基礎。數(shù)值研究表明消失矩數(shù)目為6的Coiflet是現(xiàn)有小波方法較好的基函數(shù)選擇。在這些基礎之上，本文通過將非線性項中的導數(shù)定義為新函數(shù)，拓展了現(xiàn)有小波方法在一維和二維擬線性微分方程中的應用，以及結(jié)合分部積分和函數(shù)變換等技術和小波伽遼金法，還提出了非線性

3、奇異積分方程的幾類高精度小波方法。而通過十余個具體數(shù)值算例和與其他方法的對比均顯示了這些小波方法在計算精度和收斂性方面的優(yōu)勢。非線彈性梁桿的大撓度彎曲屈曲問題和矩形薄板的大變形問題均是現(xiàn)代工程中的典型結(jié)構(gòu)非線性問題，細胞特異性粘附問題是具有彈性-隨機耦合特性的非線性生物力學問題。本文發(fā)展的小波方法提供了定量求解這些問題的技術。在分析屈曲問題時，小波方法得到的離散代數(shù)方程組形式簡單，便于結(jié)合擴展系統(tǒng)法來直接求解屈曲問題中的臨界荷載。在分析

4、大變形問題時，小波方法相對于傳統(tǒng)的有限元方法具有更高的計算效率且不出現(xiàn)剪力鎖死現(xiàn)象。在分析粘附問題時，小波方法提供了穩(wěn)定狀態(tài)下細胞間歸一化的力與界面位移非線性關系的定量描述。同時可以注意到在具體的求解過程中，本文的小波方法均能處理任意形式的非線性項以及具有對問題非線性強弱特征不敏感的特性。最后通過推導基于Coiflet的數(shù)值微分公式，提高了有限區(qū)間上平方可積函數(shù)小波逼近公式的逼近精度。在此基礎之上，本文構(gòu)造了一般非線性初值問題的小波時間

5、積分法，并結(jié)合空間離散的小波伽遼金法提出了非線性初邊值問題的小波時空統(tǒng)一求解法。理論分析表明，該小波時間積分法具有N階精度和良好的穩(wěn)定性。數(shù)值算例則表明，該小波方法適用于追蹤激波或者孤立波等劇烈變化的時空演化問題。另外，本文還提出了求解一般邊值問題的新的高精度小波積分配點法。理論分析和數(shù)值算例均表明，該小波積分配點法的收斂速度大約為O(2-nN)。n為小波分解尺度，N為Coiflet小波消失矩階數(shù)。與之前的小波伽遼金法相比，小波積分配點