三維軸對(duì)稱邊界積分方程的高精度算法.pdf

1、科學(xué)與工程問(wèn)題中的大量數(shù)學(xué)模型都?xì)w結(jié)于求解域是旋轉(zhuǎn)體的微分方程邊值問(wèn)題。這類問(wèn)題稱為軸對(duì)稱問(wèn)題，是目前研究的熱點(diǎn)。本文旨在通過(guò)邊界元方法把這類問(wèn)題轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱的邊界積分方程，利用機(jī)械求積法系統(tǒng)討論了軸對(duì)稱彈性靜力學(xué)邊界積分方程、軸對(duì)稱達(dá)西邊界積分方程、軸對(duì)稱非線性Laplace邊界積分方程和軸對(duì)稱泊松邊界積分方程的數(shù)值解法，取得的成果如下：
　　1、研究了軸對(duì)稱彈性靜力學(xué)方程帶Dirichlet邊值條件的數(shù)值解法。通過(guò)單層位勢(shì)理論

2、，利用軸對(duì)稱彈性靜力學(xué)方程的基本解，把彈性靜力學(xué)方程轉(zhuǎn)化為帶有對(duì)數(shù)弱奇異核的第一類邊界積分方程。由于軸對(duì)稱問(wèn)題的邊界大部分是非光滑的，所以邊界積分方程的解在角點(diǎn)處具有奇異性，利用三角周期變換消除了解在角點(diǎn)處的奇性。利用Lyness和Sidi的弱奇異求積公式，結(jié)和中矩形數(shù)值積分公式，構(gòu)造了求解具有弱奇異核的第一類邊界積分方程的機(jī)械求積法。利用Anselone的聚緊收斂理論證明了數(shù)值解的存在性和收斂性，還證明了數(shù)值解的誤差具有O(?3max

3、)的收斂階。
　　2、研究了軸對(duì)稱達(dá)西方程帶Dirichlet邊值條件的數(shù)值解法。利用單層位勢(shì)理論及空間坐標(biāo)變換，將軸對(duì)稱達(dá)西方程轉(zhuǎn)化為第一類的帶有對(duì)數(shù)弱奇異核的邊界積分方程。為了提高數(shù)值解的精度，利用三角周期變換消除邊界積分方程的解在角點(diǎn)處的奇性。利用機(jī)械求積法求解第一類的弱奇異的邊界積分方程，得到解的誤差具有奇數(shù)階的多參數(shù)漸近展開(kāi)式，其給出了數(shù)值解的精度為O(?3max)。利用分裂外推算法消去誤差展開(kāi)式中的低階項(xiàng)得到高階項(xiàng)，提

4、高數(shù)值解的收斂階。聚緊理論證明了機(jī)械求積法的收斂性。
　　3、研究了軸對(duì)稱非線性Laplace方程的數(shù)值解法。利用直接邊界積分方程法和軸對(duì)稱Laplace方程的基本解，將具有非線性邊值條件的軸對(duì)稱Laplace方程轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱的非線性邊界積分方程，該積分方程具有弱奇異核。利用機(jī)械求積法和牛頓迭代法求解非線性的邊界積分方程，得到數(shù)值解的誤差具有奇數(shù)階的單參數(shù)漸近展開(kāi)式，其給出了數(shù)值解的精度為O(?3)。利用外推算法提高數(shù)值解的收斂精

5、度階為O(?5)。利用Stepleman定理證明了非線性近似方程解的存在性和穩(wěn)定性。
　　4、研究了軸對(duì)稱泊松方程帶Dirichlet邊值條件的數(shù)值解法。利用軸對(duì)稱泊松方程的特解，軸對(duì)稱泊松方程可以導(dǎo)出軸對(duì)稱Laplace方程，利用單層位勢(shì)理論，將導(dǎo)出方程轉(zhuǎn)化為第一類的帶有對(duì)數(shù)弱奇異核的邊界積分方程。利用三角變換消除解在角點(diǎn)處的奇性，利用機(jī)械求積法離散邊界積分方程，得到數(shù)值解的誤差具有奇數(shù)階的多參數(shù)漸近展開(kāi)式，其給出了數(shù)值解的精度