自相似過(guò)程若干問(wèn)題的研究.pdf

1、自相似過(guò)程是在適當(dāng)時(shí)空尺度下分布不變的過(guò)程.自上世紀(jì)中葉Lamperti給出嚴(yán)格定義以來(lái),大批學(xué)者的關(guān)注為自相似過(guò)程研究建立了理論平臺(tái).如今,自相似過(guò)程在統(tǒng)計(jì)物理、數(shù)理金融、通信網(wǎng)絡(luò)、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、水文學(xué)等諸多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用.布朗運(yùn)動(dòng)是自相似過(guò)程理論研究和實(shí)際應(yīng)用中的最杰出代表.然而,部分有關(guān)理想模型也存在與現(xiàn)實(shí)不符的缺陷.這就促使人們不斷地發(fā)掘新的自相似過(guò)程.近些年,分式布朗運(yùn)動(dòng)、次分式布朗運(yùn)動(dòng)、Rosenblatt過(guò)程等在相關(guān)領(lǐng)域成

2、功應(yīng)用極大地激發(fā)了廣大學(xué)者對(duì)如上自相似過(guò)程的研究興趣.它們已經(jīng)成為當(dāng)今自相似過(guò)程研究中的熱點(diǎn)問(wèn)題.
　　本文緊跟科研前沿,研究了幾類自相似過(guò)程的有關(guān)理論;討論了兩參數(shù)非Lipschitz系數(shù)隨機(jī)Volterra方程解的存在唯一性和正則性問(wèn)題;并給出了自相似過(guò)程的一個(gè)應(yīng)用.
　　首先,分式布朗運(yùn)動(dòng)是具有平穩(wěn)增量的中心高斯自相似過(guò)程.在第3章,采用Doss-Sussmann變換,先求解含參數(shù)的常微分方程,再根據(jù)其解給出了一類隨機(jī)

3、Volterra積分方程和一類由分式布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程的廣義樣本解,由此得到了方程解的兩個(gè)比較定理.
　　其次,研究了長(zhǎng)度為m的離散化次分式布朗運(yùn)動(dòng)自協(xié)方差矩陣.該過(guò)程具有諸多與分式布朗運(yùn)動(dòng)類似的性質(zhì),但沒(méi)有平穩(wěn)增量性.事實(shí)上,人們?cè)趹?yīng)用中都是采取離散隨機(jī)信號(hào)的處理方法.所以,研究離散化次分式布朗運(yùn)動(dòng)的有關(guān)性質(zhì)是應(yīng)用的前提.在第4章,根據(jù)矩陣論線性算子擾動(dòng)理論,得到了離散化次分式布朗運(yùn)動(dòng)自協(xié)方差矩陣的逼近定理和結(jié)構(gòu)定理,并

4、且證明了離散化次分式布朗運(yùn)動(dòng)增量的漸近平穩(wěn)性.最后,借用Maple軟件工具進(jìn)行了數(shù)據(jù)模擬與分析.
　　第三、Rosenblatt過(guò)程是Hermite過(guò)程的特例,也是第一個(gè)具有自相似、平穩(wěn)增量、長(zhǎng)相依的非高斯過(guò)程.在第5章,利用Rosenblatt過(guò)程的Wiener積分給出了一個(gè)關(guān)于該過(guò)程的Fubini定理,并且根據(jù)Young積分和Rosenblatt過(guò)程的H¨older連續(xù)性定義了關(guān)于該過(guò)程的Riemann-Stieltjes積分

5、,同時(shí)得到對(duì)應(yīng)的隨機(jī)Fubini定理.
　　第四、在過(guò)去的三十年,由布朗單驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程受到極大關(guān)注.然而,對(duì)隨機(jī)Volterra方程的討論,大量文獻(xiàn)還是集中在Lipschitz系數(shù)的情形.在第6章,根據(jù)平面上的Bihari不等式、推廣的Minkowski不等式等,采用Picard迭代的方法,證明了布朗單驅(qū)動(dòng)的兩參數(shù)非Lipschitz系數(shù)隨機(jī)Volterra方程解的存在唯一性和正則性.
　　最后,在第7章,我們給出了自