非線性系統(tǒng)的對稱性約化和孤立子研究.pdf

1、非線性科學被深入研究并廣泛應用到了各個自然學科。如生物學、化學、通訊和幾乎所有的物理分支，如凝聚態(tài)物理、場論、低溫物理、流體力學、等離子物理、光學等等，這之中涌現(xiàn)了大量的非線性系統(tǒng)。為此，人們很自然地考慮到：如何求解描述非線性系統(tǒng)的非線性偏微分方程呢?非線性系統(tǒng)的解具有什么樣的特性呢?如何對非線性耦合系統(tǒng)進行對稱約化，求精確解?如何構造非線性耦合偏微分方程的Lie-Backlund變換? 通過眾多科學家的努力，人們已經(jīng)建立和發(fā)展

2、了很多求解非線性系統(tǒng)的有效方法，特別是針對其中一些被歸為可積的非線性系統(tǒng)。常用的方法有反散射方法、達布變換方法、貝克隆變換方法、分離變量法、雙線性方法和多線性方法、經(jīng)典和非經(jīng)典李群法、CK直接法、形變映射法、Painleve截斷展開法、函數(shù)展開法等。 但是隨著孤立子理論的發(fā)展，許多實際問題不能簡化為一維問題，或者簡化成一維問題后會失去它的重要特征，或者不能簡化為單個方程問題。例如在研究粒予物理中的單極子、瞬子等問題遇到的是高維非

3、線性系統(tǒng)；在研究兩根耦合光纖的相互利用時，所遇到的是耦合NLS方程組；又如描述大氣和海洋現(xiàn)象的二層流體模型問題時遇到的是耦合KdV演化方程組等等，因此由一維到多維、由單一的孤子演化方程到耦合演化方程組的研究是當前國際研究熱點對象之一。本論文主要圍繞著非線性耦合系統(tǒng)展開了討論研究。 對稱性研究是自然科學中的最基本方法之一。在可積模型的研究中，由于無窮多對稱和守恒律的存在，對稱性研究就更為重要。通過許多數(shù)學家和物理學家的努力，在連續(xù)

4、可積模型中建立了許多強有力的方法。 對于給定的非線性偏微分方程，傳統(tǒng)的對稱群研究方法通常是局限于尋找點李對稱群。在標準的李群理論中，研究無窮小形式就足夠了。通過解相應的常微分方程組的初值問題就可以唯一地求得對應的Lie群及Lie代數(shù)。然而，這對于非線性偏微分方程來說還是不夠的。還有不少的問題有待研究，比如說： (1)即使得到了李代數(shù)，相應的求解初值問題來得到有限變換即對稱群還是一件十分困難的事。 (2)在很多情況下，即使能得到初

5、值問題的解，其顯式表達式仍然是繁瑣異常的，在實際當中很難得到應用。 (3)一般的對稱群根本就不是所謂的Lie群，而是更為一般的連續(xù)群。顯然，這樣就使得這些非線性系統(tǒng)的求解難上加難。 眾所周知，對于求解非線性系統(tǒng)，特別是求解非線性系統(tǒng)的約化和約化解，存在著三大方法：CK直接法和經(jīng)典、非經(jīng)典李群法。前者是從代數(shù)的角度來求解非線性偏微分方程的，而后者的求解是基于群論的。在非線性系統(tǒng)的對稱性約化研究中傳統(tǒng)的看法已相當完善，一些標準類型的

6、約化己被窮盡，為此我們必須給出一些尋求新對稱性約化的新思路對非線性耦合系統(tǒng)進行對稱約化。通常，增加或者削弱研究過程中的某些限制條件會引發(fā)一些新的結果。 本文第二章介紹了求解非線性系統(tǒng)的一些常用方法，并闡述了一些李群在微分方程中應用所涉及的有關基本概念。在第三章中我們首先介紹了一類新的具有實際應用背景的非線性耦合系統(tǒng)。把經(jīng)典李群法推廣應用到非線性耦合系統(tǒng)，然后把這個方法應用到耦合KdV系統(tǒng)，我們得到了該系統(tǒng)的不變?nèi)骸⑷翰蛔兘?、李?/p>

7、數(shù)結構等，同時我們還應用這個方法通過求出一個典型的耦合KdV系統(tǒng)的對稱，首次用勢對稱研究了可積耦合非線性方程組，從而得到了此系統(tǒng)的Lie-Backlund變換。 我們還發(fā)現(xiàn)用經(jīng)典李群法和點李對稱法所得到的約化是相同的。在第四章中，我們通過增強約束條件，把非經(jīng)典李群法推廣應用到非線性耦合系統(tǒng)，然后把這個方法應用到耦合KdV系統(tǒng)，從而求得更多的新解。在第五章巾，我們建立了一種改進了的直接約化法，將修正的直接約化法應用到非線性耦合系統(tǒng)

8、。結果發(fā)現(xiàn)，用改進的直接約化法得到的約化包括了經(jīng)典李群法所得結果，且任一個直接約化法得到的相似約化都可以對應找到一個群論解釋。本文的第六章，給出了強色散DGH方程豐富的解，如鐘型孤立波解、緊致孤立波解、尖峰孤立波解、雙峰孤立波解、奇異孤立波解、指數(shù)解及周期波解的一般式等。證明了強色散DGH方程在雙Hamilton結構和無窮多對稱意義下可積。對強色散DGH方程用WTC法進行了奇異分析。利用齊次平衡法得到了強色散DGH方程的Backlund

9、變換，結果表明，用Painlev6截斷展開法和用齊次平衡法得到方程的：Backlund變換是等價的。同時，我們利用齊次平衡法得到了該系統(tǒng)的對稱約化，并且說明了用CK直接法和利用齊次平衡法得到的相似約化是等價的。 在本文的最后我們展望了今后的研究工作。 本文的創(chuàng)新與特色是： (1)在研究對象上，主要研究一類新的具有實際應用物理背景的非線性耦合系統(tǒng)，這些耦合非線性系統(tǒng)首先是在兩層流體體系中導出。他們可以描述許多需要多

10、層流體體系刻畫的物理問題，如氣象科學，海洋物理學以及大氣和海洋相互作用等等。 (2)在思想上，提出了一種改進直接約化法新思路：我們對直接法假設形式進行了修正，提出一個原場(約化前場)可以與兩個約化場相聯(lián)系，而在原方法中，一個原場只可以聯(lián)系于一個約化場。 (3)在方法上，我們對傳統(tǒng)做法中約束條件進行了修改，即不要求約化方程所有項系數(shù)成一定比例關系，而是要求部分項系數(shù)之間有一定比例關系，而且不同部分之間比例關系只是時空變量函

11、數(shù)而不是群不變量函數(shù)。 (4)用非點李對稱(勢對稱)研究非線性方程組對稱性約化和嚴格解.用勢對稱對單個方程研究國際上已有不少先例。B1uman等用勢對稱方法研究了一些C可積模型(如Burgers)，樓森岳等用勢對稱方法研究了一些S可積模型(如KdV)。本文首次用勢對稱研究了S可積耦合非線性方程組。 (5)在內(nèi)容上，得到了非線性耦合系統(tǒng)更多的條件相似約化解并給出了群論解釋；另一方面我們得到了強色散DGH方程的一些新的孤立子