三角剖分上的多元有理樣條及其應用.pdf

1、有理樣條函數(shù)是多項式樣條函數(shù)的一種自然推廣，但由于有理樣條空間的復雜性，所以有關它的研究成果不像多項式樣條那樣完美，有些問題還值得進一步研究.本文一方面繼續(xù)研究具有很重要應用價值的三角剖分上的多元有理樣條方法，著重討論了平面三角剖分上C1有理插值樣條函數(shù).另一方面積極地將多元有理樣條理論方面獲得的結果應用到計算機輔助幾何設計中去，研究曲面造型等方面的問題.主要工作如下： 第二章主要研究了C1有理樣條曲面約束范圍插值問題.首先具體

2、描述了C1有理樣條函數(shù)等價形式的重心坐標下的表達式.非均勻有理B樣條(NURBS)在形狀定義方面具有強大的功能和潛力，國際標準組織(ISO)于1991年頒布了關于工業(yè)產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換的STEP國際標準，把NURBS作為定義工業(yè)產(chǎn)品幾何形狀的唯一數(shù)學方法.文獻[1-3]中利用廣義楔函數(shù)方法構造了平面三角剖分上的Cμ有理樣條函數(shù)，并給出了它的等價混合形式，具有完全局部構造、表達式顯示以及保形性好等特點，并且如上所述，NURBS方法的研究已經(jīng)比較

3、成熟并且應用廣泛，因此研究有理樣條插值曲面與NURBS標準形式的內在聯(lián)系是十分有意義的.基于上述考慮，本章具體描述了C1有理樣條函數(shù)等價形式的重心坐標下的表達式，搭建起了有理樣條曲面與NURBS之間關系的橋梁，它是三個三次Bernstein-Bézier三角曲面片的凸組合.而三角Bernstein-Bézier曲面片自從Farin[4]1980年系統(tǒng)提出以來，已經(jīng)得到了迅速發(fā)展和廣泛應用，將這些結果應用到有理樣條曲面的研究中去，必將促進

4、有理樣條曲面理論的發(fā)展. 進一步基于上述C1有理樣條函數(shù)重心坐標下的等價表現(xiàn)形式，實現(xiàn)了約束范圍插值.在計算機輔助幾何設計中，一個普遍的問題就是構造具有一定連續(xù)性的光滑拼接插值曲面，然而當數(shù)據(jù)點本身具有一些內在的性質時，諸如：正性，單調性，凸性等，人們希望構造的曲面也能保持這些性質.例如，在某些CAD環(huán)境中，面對一組有限數(shù)據(jù)的用戶，可能認為一種保持某些特征的插值格式是理想的.而實際問題中的物理特征?？捎脭?shù)學形式進行描述，例如在物

5、理學中得到的有關密度，降雨量等的一組數(shù)據(jù)是正的，就物理方面而言，總希望建立在這組給定數(shù)據(jù)上的插值格式也是正的，這就是所謂保正插值問題.更為廣泛的是約束范圍插值問題，即所給數(shù)據(jù)點在約束曲面范圍之內，所構造的曲面也必須在約束曲面范圍之內.這個問題已經(jīng)被廣泛的研究，隨著研究的發(fā)展，約束曲面從平面發(fā)展到三次多項式曲面，從單一的上界或下界約束發(fā)展到上下界約束.本文由Bézier曲面非負的充分條件得到了有理樣條函數(shù)系數(shù)的約束條件，從而保證了有理樣條

6、函數(shù)的非負性，進一步將此方法推廣，實現(xiàn)了約束曲面為三次多項式的上下界約束有理曲面插值.該方法是完全顯示的，不需求解連續(xù)性方程組和泛函的極小值問題，并且通過調整因子進行調整，是一種局部方法，具有調整靈活、計算簡便的特點. 第三章，基于廣義楔函數(shù)方法討論了球面上散亂數(shù)據(jù)插值問題.球面上構造函數(shù)的問題應用領域是很廣泛的，包括大地測量學，地理物理學和氣象學等，其基本模型均為定義于球面上的函數(shù)插值問題.由于廣義楔函數(shù)方法對考慮有理樣條函數(shù)

7、問題具有通用性，因此除對二維問題外，三維，以至更高維的問題也可以較容易地得到解決.鑒于此，我們由定義在高維流形上的插值算子在某些特殊的低維流形上的限制來得到低維流形上的插值算子，這種方法巧妙地避免了在低維流形上直接構造光滑過渡的插值算子所帶來的困難，是局部構造的方法.首先對于圓周上的散亂數(shù)據(jù)插值問題，圓周上的散亂點與輔助點圓心構成了高維流形圓盤，定義在圓盤的三角剖分區(qū)域上的廣義楔函數(shù)在圓弧上的限制即為圓弧端點處對應的廣義楔函數(shù)，它們的組

8、合即為定義在圓周上的C1插值樣條.然后基于這種思想，解決了球面上的散亂數(shù)據(jù)插值問題.球面上的散亂點與輔助點球心構成了高維流形球體，通過求解定義在球體的四面體剖分區(qū)域上的廣義楔函數(shù)在球面三角形上的限制即得對應于球面三角形各節(jié)點的廣義楔函數(shù)，它們的組合即為定義在球面上的C1有理樣條插值曲面. 第四章，給出了一種依賴型值的S1/2(△)和S1/3(△)多元樣條空間非奇異自適應三角剖分的方法.眾所周知，對于R2中的一組散亂點集，構造這組

9、點集的三角剖分問題是在許多科學計算如曲面設計與擬合、有限元計算以及其他大型科學計算等領域中不可回避的問題.對于實際問題中所獲得的海量數(shù)據(jù)點，從計算的效率和誤差考慮，并非所有的數(shù)據(jù)點需要參與進行區(qū)域的剖分.因此研究依賴于數(shù)據(jù)型值的優(yōu)化的有效三角剖分方法是十分必要的.不可否認，多元樣條函數(shù)是以上科學計算領域中的重要而十分有效的工具，在許多方面有著重要的應用.但是多元樣條空間的結構至今沒有得到徹底的解決，特別是多元低次樣條函數(shù)空間的維數(shù)不僅與

10、剖分的拓撲結構有關而且還受到三角剖分的幾何性質的約束.而低次的多元樣條函數(shù)，由于它的許多性質被人們所認知而且計算簡便等特點，成為科學應用中最為常用的工具.因此，研究具有如下特性的三角剖分方法是十分有意義的. 1.盡可能使用少量的數(shù)據(jù)點參與三角剖分，有效地提高定義在此剖分上的有理樣條曲面的精度； 2.所生成的三角剖分應滿足其上的S1/2(△)和S1/3(△)樣條空間非奇異； 3.所生成的三角剖分應滿足傳統(tǒng)意義上的局

11、部優(yōu)化條件. 基于以上考慮，并且鑒于多元有理插值樣條函數(shù)具有完全局部構造、表達式顯示等特點，在文[5]中研究的S1/2(△)和S1/3(△)樣條函數(shù)空間非奇異的三角剖分算法基礎上，本章利用第二章中給出的C1有理樣條函數(shù)的等價表現(xiàn)形式給出了滿足上面3個性質的三角剖分方法.判斷三角剖分節(jié)點選取的方法是一種離散的方法，由多元有理樣條函數(shù)的系數(shù)定義了一種離散范數(shù)，從而給出了節(jié)點處權值的定義，以此來衡量節(jié)點在構造有理樣條插值曲面中的重要性