0-1二次規(guī)劃的全局最優(yōu)性條件及算法.pdf

1、全局優(yōu)化問題廣泛見于工程、國防、經(jīng)濟等諸多重要領(lǐng)域，是數(shù)學(xué)規(guī)劃理論的一個重要研究領(lǐng)域。本文首先討論一類特殊結(jié)構(gòu)的全局優(yōu)化問題：二次規(guī)劃的全局優(yōu)化問題。我們給出了0-1二次規(guī)劃的全局最優(yōu)性條件，并討論了其相應(yīng)的算法。然后，對于一般結(jié)構(gòu)的全局優(yōu)化問題，我們給出了一個新的無參數(shù)的填充函數(shù)方法。 本論文的第一章介紹全局優(yōu)化理論的一些研究成果。第二章討論無約束0-1二次規(guī)劃的全局最優(yōu)性條件。在第二節(jié)得到一個充分條件和一個必要條件的基礎(chǔ)上，

2、希望能夠得到一些充要條件。為此，首先在第三節(jié)中給出在線性約束條件下，(-x)成為一個凸的二次函數(shù)的全局極大點的充分必要條件。從這個結(jié)論出發(fā)，在第四節(jié)，我們得到了無約束0-1二次問題全局最優(yōu)的充分必要條件及其等價形式。在第五節(jié)，將注意力放在全局最優(yōu)的必要條件上。得到的必要條件都不含對偶變量，僅用到原問題的數(shù)據(jù)。這樣，這些條件在實際中都是可以被檢驗的。進一步，為了使必要條件在實際中易被檢驗、易操作，本文降低了必要條件中的維數(shù)，在比原問題維數(shù)

3、更低的空間中，給出一些簡潔的必要條件，以達到方便檢驗的目的。 在第三章，進一步研究有約束的0-1二次規(guī)劃的全局最優(yōu)條件。對于帶有線性不等式約束的0-1二次問題，在第一節(jié)中得到了它全局最優(yōu)的充分條件和必要條件。必要條件也不含對偶變量。當(dāng)系數(shù)矩陣正定時，建立了原0-1問題的解與松弛問題的解之間的聯(lián)系。對于帶有線性等式約束的0-1二次問題，本文在第二節(jié)證明了一個帶有線性等式約束的0-1二次規(guī)劃問題，它的全局最優(yōu)解集和其相應(yīng)的罰問題的全

4、局最優(yōu)解集是相等的。這樣，帶有線性等式約束的0-1二次問題的解，可以通過無約束0-1二次規(guī)劃問題的解得到。第三章的另一個內(nèi)容是討論0-1二次規(guī)劃問題的實際應(yīng)用。將得到的一些結(jié)論運用于極大團問題和二次分派問題，得出了一些相關(guān)的結(jié)論。 將全局最優(yōu)條件發(fā)展成為可實現(xiàn)的算法，是全局優(yōu)化研究中的重要的工作。本文的第四章討論無約束0-1二次規(guī)劃問題的算法。首先將原0-1問題化為一個等價的半正定的0-1二次問題。在得到這個半正定二次問題的松弛

5、解x之后，取與x“最接近的”0-1解y，在一定的條件之下，y就是原0-1問題的全局最優(yōu)解。由于松弛后的問題是凸的二次規(guī)劃問題，可以在多項式時間內(nèi)求解，所以，本文的算法是可實現(xiàn)的。為了確定y是否是原問題的最優(yōu)解，設(shè)計了三種算法。在研究了第二章所給出的一些充分條件之間的關(guān)系之后，在第四章第四節(jié)，進一步討論了這種方法能夠成功的一些條件。 對于一般結(jié)構(gòu)的全局優(yōu)化問題，全局優(yōu)化的算法研究始終是人們關(guān)注的問題。在第五章，分別對整變量的和連續(xù)

6、變量的全局優(yōu)化問題，討論求解它們的無參數(shù)的填充函數(shù)方法。 目前已有的一些填充函數(shù)一般帶有一個或兩個參數(shù)。在實際的計算過程中，往往要花費很多的時間和內(nèi)存來確定適當(dāng)?shù)膮?shù)值。另外，用填充函數(shù)方法解決整變量的全局優(yōu)化問題，這也是一個重要的研究方向?；诖耍诘谖逭碌诙?jié)首先針對非線性規(guī)劃中整變量的全局優(yōu)化問題，給出一個無參數(shù)的填充函數(shù)方法。按照填充函數(shù)方法的基本思想，給出了修正的填充函數(shù)的定義。在定義中，強調(diào)它能幫助作者找到比當(dāng)前局部

7、極小值具有更小目標(biāo)函數(shù)值的點。理論分析和數(shù)值計算的結(jié)果都表明，本文所構(gòu)造的無參數(shù)的填充函數(shù)，可以有效地使目標(biāo)函數(shù)f(x)離開當(dāng)前的局部極小點，并跳過很多局部極小點，最終找到全局極小點。而且，無論是目標(biāo)函數(shù)還是填充函數(shù)，它們需要賦值的點在所有的可行點中占的比例很小。對于連續(xù)變量的全局優(yōu)化問題，在第五章第三節(jié)同樣給出了其修正的填充函數(shù)定義。并構(gòu)造了滿足這個定義的填充函數(shù)。隨后，討論了它的一些理論性質(zhì)并進行了數(shù)值計算。由于無需調(diào)節(jié)參數(shù)，這個新