基于分數階PDE的圖像結構保持型去噪算法研究.pdf

1、通常情況下，圖像是復雜的，包含非常豐富的局部結構特征，如曲線邊緣、直線邊緣、精致紋理、角點、斜坡區(qū)域和平坦區(qū)域等，在圖像降噪的過程中，保持這些復雜、豐富且極其重要的結構特征是至關重要的。要保持這些各種各樣的結構特征，在圖像去噪時就要用不同的微分幾何量來進行區(qū)分和表征，建立對不同結構特征保持的合適的數學模型。
　　分數階微積分理論在圖像處理中所呈現出的特性是整數階微積分方法難以比擬的。本文以富含復雜結構特征圖像為對象，研究變分與非線

2、性擴散方程圖像降噪的方法與模型，利用分數階微積分、微分幾何方法等理論，探索圖像不同結構特征的不同表征方法，并在此基礎上利用變分法等方法提出新的變分與非線性擴散方程圖像降噪框架。新的理論框架拓寬和豐富了變分與非線性擴散方程方法在圖像處理中的應用，可以進一步推廣到深層次的后續(xù)圖像處理領域，具有理論意義和應用前景。本文的主要工作及貢獻包括以下幾個方面：
　?。?）基于頻域定義中的分數階導數和分數階擴散因子，提出了分數階各向異性擴散的自適

3、應P-Laplace方程的圖像去噪模型。由于僅依靠圖像梯度（一階微分幾何量）來表征圖像復雜的結構特征是不夠的，本文將含有更豐富信息的曲率（二階微分幾何量）加入到擴散因子中，并將擴散因子推廣到分數階，得到的分數階的擴散因子可以根據分數階梯度與分數階等照度線的曲率自適應地改變，自適應地控制擴散強度和擴散方向。數值實驗結果表明，所提出的模型能有效地提高去噪能力，并能很好地保持重要的局部特征，特別是彎曲程度較大的邊緣、小尺度紋理細節(jié)和坡度結構，

4、也能有效地權衡“階梯效應”與“斑點效應”，使處理后的圖像看上去更自然。
　　（2）基于空域中的Grümwald-Letnikov分數階導數與平均曲率，提出了分數階平均曲率驅動分數階電報擴散方程的圖像去噪模型，并在理論上證明了所提出模型的解的存在唯一性。首先將分數階微分引入電報擴散方程，形成二階電報擴散方程與四階電報擴散方程的一個自然插值；然后把能表征更多圖像局部結構信息的平均曲率推廣到分數階，和整數階的平均曲率相比，分數階的平均曲

5、率的使用除能有效地保持圖像彎曲邊緣、角點和對比度外，還能很好保護小尺度、彎曲程度更大的圖像結構；然后把得到的分數階平均曲率作為傳導項；同時將Laplacian核做為控制函數，Laplacian核函數在高頻區(qū)域的擴散速度是介于兩個常用PM模型的控制函數的速度之間，而在平坦區(qū)域的擴散速度是小于這兩個常用PM模型的控制函數的速度，這樣得到新的擴散系數去控制新的分數階電報擴散過程。數值實驗表明，該模型具有顯著的降噪能力，能有效地保持圖像彎曲邊緣

6、、角點和對比度，同時也克服了階梯效應和斑點效應，尤其對富含紋理和具有較大彎曲度結構特征的圖像，具有很好地保持效果。
　?。?）針對基于梯度作為圖像邊緣指示算子不能很好地區(qū)分圖像邊緣與斜坡、基于平均曲率作為圖像邊緣指示算子不能很好地區(qū)分開圖像邊緣和孤立噪聲、基于高斯曲率作為圖像邊緣指示算子在噪聲尺度比較大時，去噪效果較差等問題，本文提出了新的邊緣指示算子差分曲率，其能更好地刻畫圖像，在有效地去除噪聲的同時能從圖像的平坦和斜坡區(qū)域區(qū)分

7、開圖像的邊緣。基于差分曲率與頻域上的分數階導數，分別構建了基于差分曲率的分數階非線性擴散與分數階的自適應全變分的兩類圖像降噪模型。
　　首先，建立了基于差分曲率驅動的分數階非線性擴散的圖像結構保持型降噪模型。將頻域中定義的分數階導數引入各向異性擴散方程，形成PM方程與四階各向異性擴散方程的一個自然插值；把差分曲率作為傳導項，Laplacian核作為控制函數。Laplacian核函數比兩個常用PM模型的控制函數能更好地保留圖像邊緣（

8、見（2）中的論述）。數值實驗表明，該模型在有效提高峰值信噪比的同時得到了好的視覺效果，有效地區(qū)分圖像邊緣與斜坡區(qū)域，克服了階梯效應和斑點效應。
　　其次，建立了基于差分曲率的分數階自適應的全變分圖像去噪模型。提出一種差分曲率函數作為具有自適應擴散特征的變動指數的正則項；另一種差分曲率函數當作調節(jié)正則項和保真項的正則參數。在圖像邊緣處，正則項中變動指數的自適應選擇可以較好地保持圖像的邊緣；在圖像斜坡和平坦區(qū)域，同時對孤立噪聲，正則項

9、中分數階全變分能很好地去除噪聲，并有效抑制階梯效應；在小尺度紋理處，分數階導數和自適應的正則參數的使用可以對其較好地保持。實驗結果表明，該模型能很好保護邊緣和斜坡區(qū)域，同時也能很好地增強圖像細節(jié)。
　　（4）為了更好地刻畫圖像中重要的視覺幾何結構，建立了一種基于分數階結構張量的分數階電報擴散的圖像降噪模型，并在理論上證明了所提出模型的解的存在唯一性。分數階張量擴散，既繼承了分數階微積分的特性，又因結構張量的特性可以獲取更多額外的圖

10、像結構信息，因此，其能更加精細地區(qū)分圖像的流狀結構、角區(qū)域、T形結構(結構具有不同的方向)等圖像重要信息，也能更好地處理弱結構、小尺度以及具有分形性質的結構。分數階電報擴散方程的提出，形成了二階電報擴散方程與四階電報擴散方程的一個自然插值，其可以看著是阻尼波動方程，在圖像邊緣保持方面，優(yōu)于其它的擴散方程，且能有效地權衡階梯效應和斑點效應。用分數階結構張量取代一般的標量擴散函數或整數階的結構張量能得到真正意義上的各向異性擴散或能更好地處理