建模案例一：投入產(chǎn)出分析

1、建模案例一：投入產(chǎn)出分析 建模案例一：投入產(chǎn)出分析實(shí)例 一個(gè)城鎮(zhèn)有三個(gè)主要企業(yè)：煤礦、電廠和地方鐵路作為它的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)。生產(chǎn)價(jià)值一元的煤，需消耗 0.25 元的電費(fèi)和 0.35 元的運(yùn)輸費(fèi)；生產(chǎn)價(jià)值一元的電，需消耗 0.40 元的煤費(fèi)、0.05 元的電費(fèi)和 0.10 元的運(yùn)輸費(fèi)；而提供價(jià)值一元的鐵路運(yùn)輸服務(wù)，則需消耗 0.45 元的煤費(fèi)、0.10 元的電費(fèi)和 0.10 元的運(yùn)輸費(fèi)。假設(shè)在某個(gè)星期內(nèi)，除了這三個(gè)企業(yè)間的彼此需求外，煤礦還得

2、到了 50000 元的訂單，電廠得到了 25000 元的電量供應(yīng)要求，而地方鐵路得到了價(jià)值 30000 元的運(yùn)輸需求。試問：（1） 這三個(gè)企業(yè)在這個(gè)星期各生產(chǎn)多少產(chǎn)值才能滿足內(nèi)外需求？（2） 除了外部需求，試求這星期各企業(yè)之間的消耗需求，同時(shí)求出各企業(yè)新創(chuàng)造的價(jià)值（即產(chǎn)值中除去各企業(yè)的消耗所剩的部分） 。（3） 如果煤礦需要增加總產(chǎn)值 10000 元，它對各個(gè)企業(yè)的產(chǎn)品或服務(wù)的完全需求分別將是多少？解：（1）設(shè)煤礦、電廠和地方鐵路在這個(gè)

3、星期內(nèi)生產(chǎn)的總產(chǎn)值分別為元，由于“中間產(chǎn)品（作為系統(tǒng)內(nèi)各企業(yè)的消耗）＋最終產(chǎn)品（外部需 1 2 3 , , x x x求）＝總產(chǎn)品” ，從而建立分配平衡線性方程組為1 2 3 11 2 3 21 2 3 30 0.40 0.45 500000.25 0.05 0.10 250000.35 0.10 0.10 30000x x x xx x x xx x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?記1230

4、0.40 0.45 500000.25 0.05 0.10 , , 250000.35 0.10 0.10 30000xA x x yx? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?則可以將線性方程組寫成矩陣形式， Ax y x ? ?即( ) E A x y ? ?通過求解此線性方程組，即可求出三個(gè)企業(yè)在這個(gè)星期內(nèi)生產(chǎn)的總產(chǎn)值1 1 1 1 12 2 2

5、 2 23 3 3 3 30 0.25 0.350.40 0.05 0.100.45 0.10 0.10x x x z xx x x z xx x x z x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?記1 12 23 30 0.40 0.450.25 0.05 0.10 , ,0.35 0.10 0.10x zA x x z zx z? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

6、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?則可以將線性方程組寫成矩陣形式， T A x z x ? ?即68322( ) 783518552T z E A x? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以煤礦、電廠和地方鐵路在這個(gè)星期內(nèi)新創(chuàng)造的價(jià)值分別為 68322 元，7835 元，18552 元。（3）設(shè)煤礦、電廠和地方鐵路生產(chǎn)單位產(chǎn)值對煤、電和鐵路運(yùn)輸?shù)目傁闹捣謩e為 , , 1,2,3( ij b i j j i ?

7、 對的總消耗）那么，因?yàn)椤巴耆南禂?shù)＝直接消耗系數(shù)＋間接消耗系數(shù)” ，所以有如下等式：31ij ij kj ikkb a a b??? ＝其中 為完全消耗矩陣，它的第 列是 部門生產(chǎn)單位最終11 12 1321 22 2331 32 33b b bB b b bb b b? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?j j產(chǎn)品對各部門產(chǎn)品的直接消耗和間接消耗總值，即完全消耗值。將上式寫成矩陣形式為A BA B ? ?由此可得1 1 1 (