3.4 第2課時 圓周角和直徑的關系及圓內接四邊形1

1、3.4 圓周角和圓心角的關系 圓周角和圓心角的關系第 2 課時 課時 圓周角和直徑的關系及圓內接四邊形 圓周角和直徑的關系及圓內接四邊形1．掌握圓周角和直徑的關系，會熟練運用解決問題；(重點)2．培養(yǎng)學生觀察、分析及理解問題的能力，經歷猜想、推理、驗證等環(huán)節(jié)，獲得正確的學習方式．(難點)一、情境導入你喜歡看足球比賽嗎？你踢過足球嗎？ 如圖②所示，甲隊員在圓心 O 處，乙隊員在圓上 C 處，丙隊員帶球突破防守到圓上 C 處，依然把球傳給

2、了甲，你知道為什么嗎？你能用數(shù)學知識解釋一下嗎？ 二、合作探究探究點一：圓周角和直徑的關系【類型一】 利用直徑所對的圓周角是直角求角的度數(shù)如圖，BD 是⊙O 的直徑，∠CBD＝30°，則∠A 的度數(shù)為( )A．30° B．45° C．60° D．75°解析：∵BD 是⊙O 的直徑，∴∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝

3、60°.故選 C.方法總結：在圓中，如果有直徑，一般要找直徑所對的圓周角，構造直角三角形解題．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第 3 題【類型二】 作輔助線構造直角三角形解決問題如圖，點 A、B、D、E 在⊙O上，弦 AE、BD 的延長線相交于點 C.若 AB是⊙O 的直徑，D 是 BC 的中點．(1)試判斷 AB、AC 之間的大小關系，并給出證明；(2)在上述題設條件下，當△ABC 為正三角形時，點 E 是否

4、為 AC 的中點？為什么？解析：(1)連接 AD，先根據圓周角定理求出∠ADB＝90°，再根據線段垂直平分線性質判斷；(2)連接 BE，根據圓周角定理求出∠AEB＝90°，根據等腰三角形性質求解．解：(1)AB＝AC.證明如下：連接 AD，∵AB 是⊙O 的直徑，∴∠ADB＝90°， 即 AD⊥BC.∵BD＝DC，∴AD 垂直平分BC，∴AB＝AC；(2)當△ABC 為正三角形時，E 是 AC的中點．理由如

5、下：連接 BE，∵AB 為⊙O 的直徑，∴∠BEA＝90°，即相似三角形和三角函數(shù)的綜合如圖，四邊形 ABCD 內接于⊙O，AB 為⊙O 的直徑，點 C 為 的中 BD ︵點，AC、BD 交于點 E.(1)求證：△CBE∽△CAB；(2)若 S△CBE∶S△CAB＝1∶4，求 sin∠ABD 的值．解析：(1)利用圓周角定理得出∠DBC＝∠BAC，根據兩角對應相等得出兩三角形相似，直接證明即可；(2)利用相似三角形的性質面積比

6、等于相似比的平方，得出AC∶BC＝BC∶EC＝2∶1，再利用三角形中位線的性質以及三角函數(shù)知識得出答案．(1)證明：∵點 C 為 的中點，∴∠ BD ︵DBC＝∠BAC.在△CBE 與△CAB 中，∠DBC＝∠BAC，∠BCE＝∠ACB，∴△CBE∽△CAB；(2)解：連接 OC 交 BD 于 F 點，則 OC垂直平分 BD.∵S△CBE∶S△CAB＝1∶4，△CBE∽△CAB，∴AC∶BC＝BC∶EC＝2∶1，∴AC＝4EC，∴AE∶

7、EC＝3∶1.∵AB 為⊙O 的直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD∥OC，則 AD∶FC＝AE∶EC＝3∶1.設 FC＝a，則 AD＝3a.∵F 為 BD 的中點，O 為 AB 的中點，∴OF 是△ABD 的中位線，則 OF＝ AD＝1.5a，∴OC＝OF12＋FC＝1.5a＋a＝2.5a，則 AB＝2OC＝5a.在 Rt△ABD 中，sin∠ABD＝ ＝ ＝ .ADAB3a5a35方法總結：圓內接四邊形、圓周角等知識都是和角有