最優(yōu)控制理論與系統(tǒng)胡壽松版課后習(xí)題答案

1、12-5 求通過 ， ，使下列性能泛函為極值的極值曲線 ： (0) 1 x ? (1) 2 x ? *( ) x t02 (1 )f tt J x dt ? ? ? ?解：由題可知，始端和終端均固定，被積函數(shù) ， ， ， 2 1 L x ? ? ? 0 Lx? ? ? 2 L x x? ? ?? ? 2 d L x dt x? ? ? ??? ?代入歐拉方程 ，可得 ，即 0 L d Lx dt x? ? ? ? ? ? ?? 2 0

2、 x ? ?? 0 x ? ??故其通解為： 1 x c ? ? 1 2 x c t c ? ?代入邊界條件 ， ，求出 ， (0) 1 x ? (1) 2 x ? 1 1 c ? 2 1 c ?極值曲線為 *( ) 1 x t t ? ?2-6 已知狀態(tài)的初值和終值為， (1) 4 x ? ( ) 4 f x t ?式中 自由且 >1，試求使下列性能泛函達(dá)到極小值的極值軌線 ： f t f t *( ) x t211 [2 (

3、) ( )] 2f t J x t x t dt ? ? ? ?解：由題可知， ， ， ， 2 1 2 2 L x x ? ? ? ? ? 4 f t ? ? ? ? 1 4 x ? ? ? 4 f x t ?歐拉方程： L 0 d Lx dt x? ? ? ? ? ??橫截條件： ， ， ? ? 0 0 t x ? x ? ? ? ? f f x t t ? ? ? ? 0fTtL L x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

4、? ?? ? ?易得到故2 dxdt ? ?1 2 x t c ? ? ?其通解為： ? ?21 2 x t t c t c ? ? ?根據(jù)橫截條件可得：? ?? ?? ?1 221 211 1 442 4f f ff fx c cx t t c t cx t t c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?解以上方程組得：還有一組解 (舍去，不符合題意 >1) 12569f tcc? ? ? ?

5、? ? ? ? ? ? ?? ?????12121 cct ff t3可得， （1） 0 ) ( .. .?? ? ??? ? ???? ? ? tfTxL x c L由 c= , ? ? T ? ?, T x x x ) , ( 2.1. . ?, ) , ( ) (.2. .1. . .x x x c T ? ? ? ? ? ? TxLxLxL ) , ( . .1.2

6、???? ???（2） ? .22. .1. 1. ... .) ( ) ( ) (xL xxL xxT x c T?? ? ??? ? ??? ? ? ?將（2）代入（1）式，得：,得證。 0 ) ( ) (...22 .1.1 ?? ? ???? ? ????? ? ??? ? ? tfxL xxL x L ? ?2-13 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程， 1 2 ( ) ( ) x t x t ? ? 1(0) 2 x ?， 2( ) ( ) x

7、 t u t ? ? 2(0) 1 x ?性能指標(biāo)如下：201 ( ) 2f t J u t dt ? ?要求達(dá)到 ，試求 ( ) 0 f x t ?（1） 時的最優(yōu)控制 。 5 f t ? *( ) u t（2） 自由時的最優(yōu)控制 。 f t *( ) u t解：由題可知構(gòu)造 H： 21 2 212T H L f u x u ? ? ? ? ? ? ? ?正則方程：112 12( ) 0( )H t xH t x?? ?? ? ?