數(shù)理方程課件及課后習(xí)題答案第三章

1、第三章 行波法與積分變換法,一 行波法,適用范圍： 無(wú)界域內(nèi)波動(dòng)方程，等…,1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解條件確定特解。這一思想與常微分方程的解法是一樣的。,關(guān)鍵步驟： 通過(guò)變量變換，將波動(dòng)方程化為便于積分的齊次二階偏微分方程。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式,行波法,

2、結(jié)論：達(dá)朗貝爾解表示沿x 軸正、反向傳播的兩列波速為a波的疊加，故稱為行波法。,a. 只有初始位移時(shí)， 代表以速度a 沿x 軸正向傳播的波 代表以速度a 沿x 軸負(fù)向傳播的波,4 解的物理意義,b. 只有初始速度時(shí)：假使初始速度在區(qū)間 上是常數(shù) ，而在此區(qū)間外恒等于0,解：將初始條件代入達(dá)朗貝爾公式,5 達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)用,特征線,特征變換,行波法又叫特征線法

3、,6 相關(guān)概念,7 非齊次問(wèn)題的處理,利用疊加原理將問(wèn)題進(jìn)行分解：,利用齊次化原理，若 滿足：,則：,令：,從而原問(wèn)題的解為,,,,,,,,,,,,,,雙曲型方程,,,,橢圓型方程,,,,拋物型方程,,特征方程,,,,,,,,,,,,,,例1 解定解問(wèn)題,解,例2 求解,解：特征方程為,令：,例3 求解Goursat問(wèn)題,解：令,補(bǔ)充作業(yè)：,解定解問(wèn)題,二 積分變換法,1 傅立葉變換法,傅立葉變換的性質(zhì),微分性,位移性,積分性,

4、相似性,傅立葉變換的定義,,,偏微分方程變常微分方程,,,,,,例1 解定解問(wèn)題,解：利用傅立葉變換的性質(zhì),,,,,,,,,,,例2 解定解問(wèn)題,解：利用傅立葉變換的性質(zhì),2 拉氏變換法,拉普拉斯變換的性質(zhì),微分性,相似性,拉普拉斯變換的定義,,,偏微分方程變常微分方程,,,,,,,,例3 解定解問(wèn)題,解：對(duì)t求拉氏變換,例4 解定解問(wèn)題,解：對(duì)x求傅氏變換,,,,,,,,,,,,,對(duì)t求拉氏變換,,,,,,例5 解定解問(wèn)題,解：對(duì)t求

5、拉氏變換,對(duì)x求傅氏變換,例6 求方程,解法一：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,解法二：對(duì)y求拉氏變換,,,,例7 解定解問(wèn)題,解：對(duì)t取拉氏變換,x取傅立葉變換,其中,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3 積分變換法求解問(wèn)題的步驟,對(duì)方程的兩邊做積分變換將偏微分方程變?yōu)槌Ｎ⒎址匠?對(duì)定解條件做相應(yīng)的積分變換，導(dǎo)出新方程變的為定解條件,對(duì)常微分方程，求原定解條件解的變換式,對(duì)解的變換式取相應(yīng)的逆變