柯西不等式說課比賽(修改2) 2006年廣東高三青年教師說課比賽課件

1、柯西不等式（一）,茂名市第一中學(xué) 楊 平,2006年9月,,說教材說學(xué)情 說目標(biāo)說教法說學(xué)法 說教學(xué)過程,柯西不等式（一）,柯西不等式是人教A版選修4－5不等式選講中第三講的內(nèi)容，是學(xué)生繼平均值不等式后學(xué)習(xí)的又一個(gè)經(jīng)典不等式，它在教材中起著承前啟后的作用：一方面可以鞏固學(xué)生對(duì)不等式的基本證明方法的掌握，另一方面又為后面學(xué)習(xí)三角不等式、排序不等式打下了基礎(chǔ)。運(yùn)用柯西不等式可以解決中學(xué)數(shù)學(xué)中一些比較典型的數(shù)學(xué)問題，例

2、如：證明不等式、求最值等。 本節(jié)課是柯西不等式的第一課時(shí)，主要內(nèi)容是柯西不等式的二維形式的推導(dǎo)和應(yīng)用。,（一）、教材的地位和作用：,一、說教材,教學(xué)重點(diǎn)：,教學(xué)難點(diǎn)：,1、柯西不等式的二維形式的推導(dǎo)和應(yīng)用；,2、通過運(yùn)用柯西不等式的二維形式來解決一些簡(jiǎn)單問題，體會(huì)運(yùn)用經(jīng)典不等式的一般方法——發(fā)現(xiàn)具體問題與經(jīng)典不等式之間的聯(lián)系，經(jīng)過適當(dāng)變形，以經(jīng)典不等式為依據(jù)得出具體問題的不等關(guān)系。,柯西不等式的二維形式的應(yīng)用,關(guān)鍵點(diǎn)：

3、,理解柯西不等式的二維形式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),一、說教材,,（二）、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn),（三）、教材處理,一、說教材,向量的數(shù)量積的性質(zhì) 正是柯西不等式的向量形式，是這節(jié)課內(nèi)容最佳的“知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)”。 根據(jù)“最近發(fā)展區(qū)”的教學(xué)理論，我將課本中通過讓學(xué)生類比不等式 猜想關(guān)于 的不等關(guān)系得出柯西不等式的二維

4、形式的處理方法改為先讓學(xué)生證明不等式 ，通過對(duì)該不等式作進(jìn)一步探究,發(fā)現(xiàn)了柯西不等式的二維形式，并由此順著學(xué)生思路層層深入地設(shè)計(jì)問題來展開教學(xué)。,二、說學(xué)情,該班學(xué)生基礎(chǔ)比較扎實(shí)，求知欲較強(qiáng)，具備一定的觀察、分析、邏輯推理能力。在學(xué)習(xí)本課前已掌握證明不等式的基本方法，以及向量的數(shù)量積的性質(zhì) 。這個(gè)性質(zhì)正是柯西不等式的向量形式，是這節(jié)課內(nèi)容最佳的“知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)”。,三、說目

5、標(biāo),通過創(chuàng)設(shè)情境，提出問題，然后探索解決問題的辦法，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣，提高學(xué)生的邏輯推理能力。,1、知識(shí)目標(biāo)：,（1）理解柯西不等式的二維形式和 向量形式；（2）能運(yùn)用柯西不等式的二維形式解決一些簡(jiǎn)單問題；（3）讓學(xué)生了解柯西的主要貢獻(xiàn)，貫穿數(shù)學(xué)史教育。,2、能力目標(biāo)：,四、說教法,因?yàn)閷W(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程實(shí)際上是學(xué)生完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程，教師的職責(zé)就是引導(dǎo)學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，“教是為了不教”就是這

6、一思想的反映，而探究式學(xué)習(xí)的本質(zhì)就是學(xué)生的自主建構(gòu)，所以我在柯西不等式的發(fā)現(xiàn)、證明以及例題的講解中均采用問題探究式教學(xué)法：通過精心設(shè)置問題鏈，使教學(xué)過程活動(dòng)化，促使學(xué)生積極主動(dòng)地參與教學(xué)活動(dòng)。在整個(gè)教學(xué)過程中我鼓勵(lì)學(xué)生互相討論，合作交流。另外我采用了多媒體進(jìn)行教學(xué)，既提高了教學(xué)效率，使得課堂各個(gè)環(huán)節(jié)緊湊，學(xué)生思維連貫順暢；又為師生、生生之間的交流提供了廣闊的平臺(tái)。,五、說學(xué)法,教是為了不教。在教學(xué)過程中我注意指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，通過啟發(fā)教

7、給學(xué)生獲取知識(shí)的途徑，思考問題的方法。在教學(xué)活動(dòng)中，我通過肯定學(xué)生的正確，指出學(xué)生的錯(cuò)誤，引導(dǎo)學(xué)生揭示知識(shí)內(nèi)涵，幫助學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考，積極探索的習(xí)慣。培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究的學(xué)習(xí)方式。,六、說教學(xué)過程,創(chuàng)設(shè)情境,初步運(yùn)用,實(shí)施探究,設(shè)置懸念,歸納小結(jié),理解深化,,1、有效的問題能創(chuàng)設(shè)出一個(gè)充滿張力的情境，能激發(fā)學(xué)生的探究欲望。 2、 向量的數(shù)量積的這個(gè)性質(zhì)正是柯西不等式的向量形式，是這節(jié)課內(nèi)容最佳的“知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)”，是學(xué)生思維

8、的 “最近發(fā)展區(qū)”。,,師：前面我們學(xué)習(xí)了哪幾種證明不等式的方法？,師：在運(yùn)用這些方法解題時(shí)需要注意哪些方面？,（要注意每種方法的特點(diǎn)、適用范圍、及 解題格式）,(比較法、分析法、綜合法、反證法、放縮法),,1、有效的問題能創(chuàng)設(shè)出一個(gè)充滿張力的情境，能激發(fā)學(xué)生的探究欲望。 2、 向量的數(shù)量積的這個(gè)性質(zhì)正是柯西不等式的向量形式，是這節(jié)課內(nèi)容最佳的“知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)”，是學(xué)生思維的 “最近發(fā)展區(qū)”。,,師：前面我們學(xué)習(xí)了

9、哪幾種證明不等式的方法？,師：在運(yùn)用這些方法解題時(shí)需要注意哪些方面？,（要注意每種方法的特點(diǎn)、適用范圍、及 解題格式）,(比較法、分析法、綜合法、反證法、放縮法),,問題1：當(dāng)滿足什么條件時(shí)，不等式取等號(hào)？,問題2：取消已知中的“非零”，不等式還成立嗎？,問題 3：,,用數(shù)學(xué)家成才的故事，鼓勵(lì)學(xué)生要有敢于克服困難的決心和勇氣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能動(dòng)性。,柯西（Cauchy,Augustin-Louis,

10、 1789-1857 ）是法國(guó)數(shù)學(xué)家、力學(xué) 家。1811及1812年向法國(guó)科學(xué)院 提交了 兩篇關(guān)于多面體的論文，在 數(shù)學(xué)界造成了極大的影響。1816年（27歲）成為巴黎 綜合工科學(xué)校教授，并當(dāng)選為法國(guó)科學(xué)院 院士.柯西對(duì)高等數(shù)學(xué)的大量貢獻(xiàn)包括：無窮級(jí)數(shù)的斂散性，實(shí)變和復(fù)變函數(shù)論

11、,微分方程，行列式，概率和數(shù)理方程等方面的研究．目前我們所學(xué)的極限和連續(xù)性的定義，導(dǎo)數(shù)的定義，以及微分、定積分用無窮多個(gè)無窮小的和的極限定義，實(shí)質(zhì)上都是柯西給出的。他的臨終名言是“人總是要死的，但是，他們的業(yè)績(jī)永存．”,,因?yàn)椴煌膶W(xué)生在認(rèn)知方式和思維策略上存在著差異。學(xué)生間的交流是學(xué)生完善認(rèn)知建構(gòu)的催化劑。所以我這樣設(shè)計(jì)來激發(fā)學(xué)生參與數(shù)學(xué)思維活動(dòng)。,問題4：能否用不同的方法證明柯西不等式的二維形式？ (

12、要求學(xué)生寫出完整的證明過程，巡堂，將 學(xué)生中出現(xiàn)的各種典型證法用投影儀投影出來，讓學(xué)生比較、分析、評(píng)價(jià)),,1、掌握柯西不等式的二維形式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是突破本節(jié)難點(diǎn)的關(guān)鍵。2、可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析，歸納能力，同時(shí)，讓學(xué)生成為發(fā)現(xiàn)者，可以增加學(xué)生的成就感，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。有助于學(xué)生學(xué)習(xí)情緒的進(jìn)一步高漲。,問題5：請(qǐng)仔細(xì)觀察柯西不等式的二維形式，想一想，它的結(jié)構(gòu)有什么特點(diǎn)？,（引導(dǎo)學(xué)生通過類比基本不等

13、式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，觀察、分析，相互探討，歸納出：“平方的和的乘積不小于乘積的和的平方”的特點(diǎn)）,,1、通過比較各種證明方法，凸顯柯西不等式在解題中的優(yōu)越性。,(要求學(xué)生寫出完整的證明過程，巡堂，將 學(xué)生中出現(xiàn)的各種典型證法用投影儀投影出來，讓學(xué)生比較、分析、評(píng)價(jià)),,1、讓學(xué)生在解決問題的過程中體會(huì)用柯西不等式的二維形式解決問題的方法。2、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本點(diǎn)，也是形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的核心成分這樣設(shè)計(jì)既突

14、出了教學(xué)重點(diǎn)又化解了教學(xué)難點(diǎn)，還使學(xué)生的思維得到了鍛煉,(留給學(xué)生足夠的思考時(shí)間，鼓勵(lì)學(xué)生合作交流。一段時(shí)間后，請(qǐng)做出來的同學(xué)談?wù)勈窃鯓诱业浇忸}思路的，再讓未做出來的學(xué)生談?wù)勊悸氛系K之處，其他同學(xué)進(jìn)行補(bǔ)充，教師適時(shí)點(diǎn)撥，最終體會(huì)到解題的方法。),,1、讓學(xué)生在反思中加深了對(duì)用柯西不等式的二維形式解題的方法的理解。2、讓學(xué)生在歷練中暴露了思維障礙之處，教師在此適當(dāng)加予點(diǎn)撥，就能取得很好的教學(xué)效果。這是本節(jié)課的

15、升華之處。,問題6： 例1和例2都可以用柯西不等式進(jìn)行證明，但證明過程有何區(qū)別？（引導(dǎo)學(xué)生思考、交流，然后個(gè)別提問，再和其他學(xué)生分析、評(píng)價(jià)）,,及時(shí)鞏固所學(xué)知識(shí)和方法體會(huì),,,讓學(xué)生在歸納小結(jié)的過程中將所學(xué)的知識(shí)條理化、系統(tǒng)化。而注重?cái)?shù)學(xué)方法的提煉，可幫助學(xué)生逐漸把經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化成能力。,,問題8：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了什么？體驗(yàn)到什么？,1、知識(shí)總結(jié)：,2、思想方法總結(jié)：,認(rèn)識(shí)事物的過程實(shí)質(zhì)就是“觀察－

16、發(fā)現(xiàn)、猜想－論證－應(yīng)用－再發(fā)現(xiàn)－再論證－再應(yīng)用…”的過程,,這是本節(jié)課的一個(gè)升華之處。以問題的形式引出柯西不等式的三維、n維形式的推導(dǎo)，為下節(jié)課作好了鋪墊。既使學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)，又使學(xué)有余力的學(xué)生有所提高。,,問題9：柯西不等式的三維、四維、n維的形式是怎樣的？如何推導(dǎo)？,問題10：還有沒有其他方法來證明柯西不等式的二維形式？,七、評(píng)價(jià)分析,在教學(xué)過程中我始終面對(duì)全體學(xué)生，尊重學(xué)生的個(gè)體差異，鼓勵(lì)與提倡學(xué)生用多樣化的策

17、略解決問題，并引導(dǎo)學(xué)生合作交流，豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)，提高他們的思維水平。同時(shí)這節(jié)課也是我對(duì)個(gè)性化教育的初步嘗試。,,1、附板書設(shè)計(jì),Bye!,,探究的第一步是有效的問題。有效的問題能創(chuàng)設(shè)出一個(gè)充滿張力的情境，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的極大興趣。 向量的數(shù)量積的這個(gè)性質(zhì)正是柯西不等式的向量形式，是這節(jié)課內(nèi)容最佳的“知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)”。根據(jù)知識(shí)建構(gòu)理論和“最近發(fā)展區(qū)”的教學(xué)理論我設(shè)計(jì)了這樣的引入。 先讓學(xué)

18、生證明不等式 ，然后通過引導(dǎo)學(xué)生對(duì)該不等式進(jìn)行探究,發(fā)現(xiàn)了柯西不等式的二維形式，,,1、讓學(xué)生在反思中加深了對(duì)用柯西不等式的二維形式解題的方法的理解。2、學(xué)生在反思中暴露的問題真實(shí)體現(xiàn)了學(xué)生的思維障礙，教師在此稍加點(diǎn)撥，就能取得很好的教學(xué)效果。,,1、有效的問題能創(chuàng)設(shè)出一個(gè)充滿張力的情境，能激發(fā)學(xué)生的探究欲望。 2、 向量的數(shù)量積的這個(gè)性質(zhì)正是柯西不等式的向量形式，是這節(jié)課內(nèi)