積分與路徑的無關(guān)性

1、3——1授課題目授課題目2柯西積分定理授課類型授課類型理論課首次授課時(shí)間首次授課時(shí)間2009年9月1日學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)2教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)掌握柯西積分定理及推廣.重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：柯西積分定理及推廣到復(fù)周線的情形.難點(diǎn)：柯西積分定理推廣到復(fù)周線的情形.教學(xué)手段與方法教學(xué)手段與方法黑板講授教學(xué)過程：（包括授課思路、過程設(shè)計(jì)、講解要點(diǎn)及教學(xué)過程：（包括授課思路、過程設(shè)計(jì)、講解要點(diǎn)及各部分具體內(nèi)容、時(shí)間分配等各部分具體內(nèi)容、時(shí)間分配等）（一）授

2、課思路（一）授課思路（二）過程設(shè)計(jì)（二）過程設(shè)計(jì)1.1.回顧上節(jié)課的主要內(nèi)容2.2.講授新課3.3.課堂練習(xí)與討論4.4.課堂小結(jié)與布置作業(yè)（三）講解要點(diǎn)及各部分具體內(nèi)容：（三）講解要點(diǎn)及各部分具體內(nèi)容：1.柯西積分定理從１所舉的例子中可以看出，在例3.1(2)中，被積函數(shù)在單連通區(qū)域平面上解()fzz?z析，它沿連接起點(diǎn)與終點(diǎn)的任何路徑的積分值都是相同，即積分與路徑無關(guān)，但在例3.3abC中，被積函數(shù)在平面上處處不解析（見第二章習(xí)題１

3、），而積分值卻與連接起點(diǎn)()Refzz?za與終點(diǎn)的路徑無關(guān)下面給出周線積分的基本定理。1i?定理：設(shè)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，是在內(nèi)的原函數(shù)，即()fzD)(zF()fzD)()(zfzFDz????則對于內(nèi)上任意起點(diǎn)為，終點(diǎn)為的周線，有D1z2zC。)()(12zFzFfdzC???注意定理的條件蘊(yùn)含在內(nèi)解析。)(zFD該定理的意義在于：把微積分基本定理推廣到周線積分上。證明：如果是光滑曲線，C)(tzz?3——3推論2.若在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且在內(nèi)

4、有原函數(shù)，則它沿內(nèi)的周線積分只依賴與周線()fzDDD的端點(diǎn)，即積分與連接這兩點(diǎn)的路徑無關(guān)。如下圖：至此，我們將建立已討論的三個(gè)性質(zhì)的等價(jià)性：定理2.設(shè)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，則以下結(jié)論等價(jià)：()fzD（1）在內(nèi)的原函數(shù)()fzD（2）沿內(nèi)的任意環(huán)線的積分為零。即對內(nèi)的任意環(huán)線，有=0fDCDC?Cfdz（3）沿內(nèi)的周線積分與路徑無關(guān)。，即對于內(nèi)任意兩點(diǎn)與，積分值fDD0z1z與連接起點(diǎn)與終點(diǎn)的路徑無關(guān)10()zzfzdz?0z1z證明：(2)(

5、3)設(shè)與是內(nèi)連接與的兩條曲線，則正方向曲線與負(fù)方向曲線?1C2CD0z1z1C就連接成內(nèi)的一條閉曲線，從而由定理及１的性質(zhì)（３）有2C?DC120()()()CCCfzdzfzdzfzdz???????因此12()()CCfzdzfzdz???(3)(1)只其起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，因而當(dāng)起點(diǎn)固定時(shí)，對于一個(gè)，就唯一地確?()Cfzdz?0zzD?定了一個(gè)積分值，這說明當(dāng)固定時(shí)，積分就定義了內(nèi)的一個(gè)單值函10()zzfd???0z10()zzf