關(guān)于二次函數(shù)實(shí)根分布問題的討論

1、第1頁共9頁關(guān)于二次函數(shù)實(shí)根分布問題的討論關(guān)于二次函數(shù)實(shí)根分布問題的討論來章潤重慶市巴蜀中學(xué)，重慶400013摘要：摘要：本文討論了二次函數(shù)的實(shí)根分布問題。首先，零點(diǎn)存在性定理是解決實(shí)根分布問題的首選；其次，二次函數(shù)的開口方向、根的判別式、對稱軸的位置、區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)、兩根之和與兩根?之積的正負(fù)這五個約束條件決定二次函數(shù)的實(shí)根分布；然后，舉例討論了復(fù)合型二次函數(shù)的實(shí)根分布問題；最后文章舉例討論了其他類型二次函數(shù)的實(shí)根分布問題。關(guān)鍵

2、詞鍵詞：二次函數(shù)，實(shí)根分布，復(fù)合型二次函數(shù)二次函數(shù)函數(shù)的實(shí)根分布問題指的是已知系數(shù)含有參數(shù)的二次函數(shù)或者可化為二次函數(shù)的實(shí)根分布情況，通過討論其系數(shù)研究參數(shù)的取值范圍的問題。它是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個重點(diǎn)也是一個難點(diǎn)，在這篇文章中，我們就一起來討論二次函數(shù)實(shí)根分布問題。為了解決這個問題，我們必須通過分類討論，從具體問題中給出這個充分條件，然后對此加以證明，并舉實(shí)例驗(yàn)證之。1.零點(diǎn)存在性定理零點(diǎn)存在性定理1.1零點(diǎn)存在性定理零點(diǎn)存在性定理[1]

3、：一般地，如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不??xfy???ba，斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間[，b]內(nèi)有零點(diǎn)，即????0??bfaf??xfy?a存在，使得，這個也就是的根我們不妨把這一結(jié)論稱為零??bac???0?cfc??0?xf點(diǎn)存在性定理1.2零點(diǎn)存在性定理的證明：零點(diǎn)存在性定理的證明：我們采用高中的“二分法”來證明這個命題，由于函數(shù)在區(qū)間[，b]上有??xfy?a，則在區(qū)間上有。????0??bfaf，，記bbaa?

4、?11??xfy???11ba，????011??bfaf取區(qū)間的中點(diǎn)，若，則為所求；若??11ba，211ba?0211????????baf211bac??，取，則函數(shù)在區(qū)間上有??02111?????????afbaf211212babaa???，??22ba，，否則取，則函數(shù)在區(qū)間上有????022??bfaf121122abbaa???，??22ba，……????022??bfaf第3頁共9頁數(shù)，也決定這條拋物線與軸的交點(diǎn)個數(shù)

5、，當(dāng)時，二次函數(shù)有兩個不同的實(shí)根，x0??圖像與軸有兩個交點(diǎn)；當(dāng)時，二次函數(shù)有兩個相同的實(shí)根，圖像與軸只有一x0??x個交點(diǎn)；當(dāng)時，二次函數(shù)沒有實(shí)數(shù)根，圖像與軸無交點(diǎn)。二次函數(shù)的對稱軸方0??x程是一條平行于軸的直線，在這條直線的兩側(cè)二次函數(shù)具有相反的單調(diào)性。abx2??y因此，開口方向和對稱軸方程決定二次函數(shù)的形狀，也決定二次函數(shù)的單調(diào)abx2??性。如果二次函數(shù)有兩個相同的實(shí)數(shù)根或者有兩個不同的實(shí)數(shù)根，設(shè)其為，則它２１、xx們的兩根

6、之積與兩根之和由二次函數(shù)的系數(shù)（包括二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)ab項(xiàng)）決定，。c????????????acxxabxx2121系為它們之間的根與系數(shù)關(guān)二次函數(shù)的實(shí)根分布問題其實(shí)就是研究函數(shù)兩根的取值范圍問題，通過討論21xx二次函數(shù)的根的判別式可確定根的個數(shù)，再討論二次函數(shù)開口方向、對稱軸的位置?確定二次函數(shù)圖像的行狀，最后討論二次函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)、兩根之和與兩根之積的正負(fù)確定根的分布情況。也就是說通過討論二次函數(shù)的開口方

7、向、根的判別式、對稱軸的位置、區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)、兩根之和與兩根之積的正負(fù)這五個?約束條件，可以確定二次函數(shù)的實(shí)根的個數(shù)及分布區(qū)間。通過觀察我們發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)對稱軸方程和兩根之和的表達(dá)式abx2??abxx???21有很大的相似之處，這提示我們?nèi)ジM(jìn)一步去研究二者的聯(lián)系。我們都知道二次函數(shù)的兩根是關(guān)于對稱軸對稱的，根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)，它們的和應(yīng)該是對稱軸的2倍，因而二次函數(shù)的對稱軸方程和兩根之和表達(dá)式是等價的，我們在討論的時候只用討論