力學(xué)競(jìng)賽資料運(yùn)動(dòng)學(xué)

1、圖示曲線為一旋輪線，其參數(shù)R為已知。圖中M點(diǎn)處的曲率半徑為 .,,,答案：1. v/l 2. A、B的軌跡均為旋輪線（或稱擺線、圓滾線） 3. mv2/2l 解題思路同“桿的下落.doc”,題：在錄音機(jī)或連續(xù)印刷機(jī)中，磁帶（或紙張）以勻速 v 運(yùn)動(dòng)。設(shè)以 r 表示磁帶盤(pán)（紙筒）的半徑， b 表示磁帶的厚度。試導(dǎo)出磁帶盤(pán)角加速度的表達(dá)式。,解：設(shè)初始

2、時(shí)紙筒半徑為r 0，在任一瞬時(shí)t ,紙筒半徑為 r ，角速度為w，紙筒已轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)為n，(不一定為整數(shù)）則有,因 v 和 b 為常量，故有,又因,所以,角加速度,鞏固題：一張致密光盤(pán)（CD）音軌區(qū)域的內(nèi)半徑R1=2.2cm，外半徑為R2=5.6cm，徑向音軌密度 N=650條/mm。在 CD唱機(jī)內(nèi)，光盤(pán)每轉(zhuǎn)一圈，激光頭沿徑向向外移動(dòng)一條音軌，激光束相對(duì)光盤(pán)是以v=1.3m/s的恒定速度運(yùn)動(dòng)的。問(wèn)：（1）這張光盤(pán)全部放音時(shí)間是多長(zhǎng)？（2）

3、激光束到達(dá)離盤(pán)心R=5.0cm處時(shí)，光盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度是多少？,答：（1）69.4 min （2）,題．AC、BD兩桿各以勻角速度w分別繞距離為l的A、B軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)向如圖。小圓環(huán)M套在 AC及 BD桿上。在某一瞬時(shí)a=b=60º，求小圓環(huán) M在任意瞬時(shí)的速度和加速度。,題．AC、BD兩桿各以勻角速度w分別繞距離為l的A、B軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)向如圖。小圓環(huán)M套在 AC及 BD桿上。在某一瞬時(shí)a=b=

4、60º，求小圓環(huán) M在任意瞬時(shí)的速度和加速度。,,,,,,,,,,向垂直于AC方向投影：,解1：,方向：與x軸正向之間的夾角為2a+60°,求得：,同理可求加速度。,題．AC、BD兩桿各以勻角速度w分別繞距離為l的A、B軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)向如圖。小圓環(huán)M套在 AC及 BD桿上。在某一瞬時(shí)a=b=60º，求小圓環(huán) M在任意瞬時(shí)的速度和加速度。,解2：因,所以 M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為一圓周，圓心為O,不難算出圓的半徑,

5、因AOE為空間固定直線，所以,,,例 如圖，兩輛汽車(chē)均勻速前進(jìn)。A車(chē)沿直線行駛，B車(chē)沿圓周行駛。OA=x0-vAt,θ=ωt，x0=3000m, vA=10m/s, ω=0.05rad/s,圓周半徑R=1000m，求： （1） t=0瞬時(shí)A車(chē)上的乘客看到的B車(chē)的相對(duì)速度； （2）t=0瞬時(shí)B車(chē)上的乘客看到的A車(chē)的相對(duì)速度。,,,,,,A,,R,B,,,O,,,,例5 OA=x0-vAt,θ=ωt，x0=3000m, vA=10m/s,

6、ω=0.05rad/s, R=1000m，求： t=0瞬時(shí)：(1) A車(chē)上的乘客看到的B車(chē)的相對(duì)速度；(2)B車(chē)上的乘客看到的A車(chē)的相對(duì)速度。,解：（1）求t=0瞬時(shí)B車(chē)上的乘客看到的A車(chē)的相對(duì)速度,1、選擇動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)系,2、分析三種運(yùn)動(dòng)和速度,4、求解未知量,3、作速度平行四邊形，如圖。,動(dòng)點(diǎn)－A車(chē)；,動(dòng)系－固結(jié)于B車(chē)上；,絕對(duì)運(yùn)動(dòng)－沿OA的直線運(yùn)動(dòng),相對(duì)運(yùn)動(dòng)－規(guī)律未知,牽連運(yùn)動(dòng)—車(chē)B繞O的定軸轉(zhuǎn)動(dòng),,R,,,,,A,B,,,O,,,,

7、,,例5 OA=x0-vAt,θ=ωt，x0=3000m, vA=10m/s, ω=0. 05rad/s, R=1000m，求： t=0瞬時(shí)：(1) A車(chē)上的乘客看到的B車(chē)的相對(duì)速度；(2)B車(chē)上的乘客看到的A車(chē)的相對(duì)速度。,解：（2）求t=0瞬時(shí)A車(chē)上的乘客看到的B車(chē)的相對(duì)速度,1、選擇動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)系,2、分析三種運(yùn)動(dòng)和速度,4、求解未知量,3、作速度平行四邊形，如圖。,動(dòng)點(diǎn)－B車(chē)；,動(dòng)系－固結(jié)于A車(chē)上；,絕對(duì)運(yùn)動(dòng)－以R為半徑的圓周運(yùn)動(dòng),

8、相對(duì)運(yùn)動(dòng)－規(guī)律未知,牽連運(yùn)動(dòng)—車(chē)B的直線平動(dòng),,,R,,,,,A,B,,,O,,,,例5 OA=x0-vAt,θ=ωt，x0=3000m, vA=10m/s, ω=0. 05rad/s, R=1000m，求： t=0瞬時(shí)：(1) A車(chē)上的乘客看到的B車(chē)的相對(duì)速度；(2)B車(chē)上的乘客看到的A車(chē)的相對(duì)速度。,討論：,,,R,,,,,A,B,,,O,（1）由計(jì)算結(jié)果：,可知：在不同車(chē)上觀察到的相對(duì)速度截然不同。,,討論：,,,A,B,,（2

9、）更進(jìn)一步，可編程作出兩車(chē)乘客所觀察到的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡。,動(dòng)點(diǎn)為A，動(dòng)系固結(jié)在B車(chē)時(shí)：,,討論：,,,A,B,,,,,x’,y’,動(dòng)點(diǎn)為B，動(dòng)系固結(jié)在A車(chē)時(shí)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡為：,,題：設(shè)Oxy是固定坐標(biāo)系。系統(tǒng)由三根不計(jì)半徑的細(xì)桿構(gòu)成，初始時(shí)刻CD桿沿z軸；OB桿長(zhǎng)為a，沿x軸正方向；AB桿長(zhǎng)為l，開(kāi)始時(shí)先與z軸平行，繞x軸負(fù)方向轉(zhuǎn)動(dòng)β角后，把這三根桿件焊成一個(gè)整體，如圖所示。 假設(shè)在yz平面內(nèi)有一張紙存在，為了能讓系統(tǒng)持續(xù)地繞z軸以

10、勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，需要在紙上挖出某種形狀的空隙讓AB桿通過(guò)（這里只考慮AB桿）。,（1）如果a=0，求空隙的函數(shù)表達(dá)式Γ0，并畫(huà)出示意圖。 （2）如果a>0，求空隙的函數(shù)表達(dá)式Γa，并畫(huà)出示意圖。Γ0與Γa有何關(guān)系？ （3）當(dāng)a>0時(shí)，設(shè)P是AB桿與yz平面的交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P位于AB桿中點(diǎn)且yP>0時(shí)，如果要求P點(diǎn)的速度和加速度，你如何考慮？取a=1m，l=4m，β=π/6，ω=1rad/s，速度和加速度是多

11、少？,初始時(shí)刻的系統(tǒng)位置,P點(diǎn)軌跡是雙曲線（的一部分），,（3）設(shè)P是AB桿與yz平面的交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P位于AB桿中點(diǎn)且yP>0時(shí)，求P點(diǎn)的速度和加速度？取a=1m，l=4m，β=π/6，ω=1rad/s,（3）求P點(diǎn)的加速度？取a=1m，l=4m，β=π/6，ω=1rad/s,分離變量積分，易得：,軌跡為對(duì)數(shù)螺線,題. 三名舞蹈演員在舞臺(tái)上（視作平面上三點(diǎn)）組成一正三角形。音樂(lè)一開(kāi)始，每一演員即朝向右側(cè)的另一演員以常速率 v 緩慢前

12、進(jìn)。問(wèn)演員走過(guò)的軌跡是什么曲線？求某點(diǎn)處的曲率半徑。,解: 設(shè)三名演員初始時(shí)位于A0、 B0、 C0 ，他們之間的距離為a 任意瞬時(shí)他們的位置如圖。知，三角形ABC仍是正三角形,動(dòng)系：繞O做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度與人所在的三角形的角速度相同,動(dòng)點(diǎn)：A,絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：未知曲線，但va的大小和方向均已知,牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng),相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng),,動(dòng)系：繞O做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度與人所在的三角形的角速度相同,動(dòng)點(diǎn)：A,,,,,,,,,,

13、？,0,？,0,式（*）向x’軸投影,題. 繞鉛直軸以等角速度w緩慢旋轉(zhuǎn)的封閉圓艙中，站在艙底盤(pán)的實(shí)驗(yàn)者感不到自己的運(yùn)動(dòng)，但拋出的小球的運(yùn)動(dòng)卻不服從牛頓運(yùn)動(dòng)定律。設(shè)實(shí)驗(yàn)者站立處A距底盤(pán)旋轉(zhuǎn)中心O的距離為 r ，請(qǐng)你替他設(shè)計(jì)一個(gè)拋球的初速度（大小vO，方向與OA的夾角為a ），使得球拋出后能返回來(lái)打到實(shí)驗(yàn)者身上。試寫(xiě)出vO ， a應(yīng)滿足的條件，畫(huà)出小球相對(duì)軌跡示意圖（不考慮小球在鉛垂方向的運(yùn)動(dòng)，例如，認(rèn)為小球在光滑的艙底盤(pán)上運(yùn)動(dòng)）。,解:

14、 (1) 在定坐標(biāo)系中考慮問(wèn)題。小球以絕對(duì)速度 v 沿直線 A B運(yùn)動(dòng)，如果小球到達(dá) B時(shí)，實(shí)驗(yàn)者也隨底盤(pán)沿著 弧線到達(dá)B，則小球打在實(shí)驗(yàn)者身上。,解: (2) 條件為 給定 q ，即可求出v ，即問(wèn)題有多解。當(dāng)給定v, q時(shí)，可用速度合成定理求相對(duì)速度vO及方向a 。,(3)小球相對(duì)軌跡示意如圖.,題：如圖,AB桿的A端沿圓槽O運(yùn)動(dòng),B端與輪軸鉸接。輪軸沿直線軌道只滾不滑。圓槽O半徑為R，輪軸內(nèi)外半徑分別為R1

15、、 R2 。AB長(zhǎng)為L(zhǎng)。圖示瞬時(shí)，已知A點(diǎn)速度vA，AB桿中點(diǎn)M的切向加速度為零。則此瞬時(shí)： （l） P 點(diǎn)的速度vP大小為 。 （2）M 點(diǎn)的加速度大小為 。,題. 在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，軌跡是個(gè)重要概念，但簡(jiǎn)單機(jī)構(gòu)也可能有復(fù)雜的軌跡曲線。如圖，小齒輪O1在大齒輪O內(nèi)作純滾動(dòng)。其中大齒輪半徑為R，小齒輪半徑為r,E是小齒輪上的偏心點(diǎn)，偏心距為e。求小齒輪上偏心點(diǎn)E

16、的軌跡。并討論軌跡的特點(diǎn)。解：,討論：（a）若x為無(wú)理數(shù)，則軌跡曲線不封閉；（b）若x為有理數(shù)，則軌跡曲線封閉。進(jìn)一步，設(shè) ，m，n為不可約自然數(shù)，則曲線的周期為2n p ?；蛐↓X輪轉(zhuǎn)n 圈后曲線重合。并且曲線有m個(gè)尖點(diǎn)或花瓣；（c）h= 1時(shí)曲線有尖點(diǎn)。 h <1時(shí)尖點(diǎn)變?yōu)閳A凸， h ＞l時(shí)曲線的尖點(diǎn)變?yōu)榛ò辍?h = 0時(shí)曲線為圓；（d） x =2， h =1時(shí)曲線退化為直線。 x