數(shù)理統(tǒng)計學(xué)導(dǎo)論參考答案第6~9章rv霍格_第1頁
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文檔簡介

1、SolutiontoExercisesChapter6IntroductiontoStatisticalInferenceSection6.1PointEstimation6.1.LetnXXX21?representaromsamplefromeachofthedistributionshavingthefollowingprobabilitydensityfunctions：(a）??????????0210!)(?xxexfxze

2、roelsewherewhere.1)00(?f(b)???????????010)(1xxxfzeroelsewhere.(c)????????????001)(xexfxzeroelsewhere.Ineachcasefindthem.l.e.??of?.Solution(a)Thelikelihoodfunctionofthesampleis!!!()(21nnxxxxexLi???????Here!lnln)(lniixnxxL

3、????????Sowehave.0)(ln????nxdLdi???whosesolutionf?isxwhichisthedesiredm.l.e.oftheunknownparameter?.(b)Thelikelihoodfunctionofthesampleis121)()(?????nnxxxxL?Here)ln)(1(ln)(lnixnxL???????Sowehave.0ln)(ln????ixndLd???whoses

4、olutionf?isixnln??whichisthedesiredm.l.e.oftheunknownparameter?.(c)Thelikelihoodfunctionofthesampleis???1)(ixnexL???Here???ln)(lnixnxL????Sowehave.0)(ln2?????????ixndLdwhosesolutionf?isxwhichisthedesiredm.l.e.oftheunknow

5、nparameter?.6.2.LetnXXX21?bei.i.d.eachwiththedistributionhavingp.d.f.??????????????211)(2210)1()(21????????xexfxzeroelsewhere.Findthem.l.e.of1?2?.Itiseasilytounderstthat321)25(~?ibXii?Sothem.l.e.oftheunknownparametersis3

6、21XXXrespectively.Thusthem.l.e.of321???is2572511254respectively.6.5.TheParetodistributionisfrequentlyusedasamodelinstudyofincomeshasthedistributionfunction00whereelsewherezero)(1)(2111212????????????xxxFIfnXXX21?isaromsa

7、mplefromthisdistributionfindthem.l.e.of21??.SolutionThep.d.f.ofthepopulationisxxxf???111221)(22???????.Obviouslythem.l.e.of1?isthefirstderstatistic1Y.Thelikelihoodfunctionofthesampleis0lnlnln)(1221121112212222???????????

8、innnxnnLxxxxL????????????Thusweobtainthem.l.e.of2?12lnln?YnXni????.6.6.LetnYbeastatisticsuchthat0lim)(lim2n??????nYnnYE??.ProvethatnYisconsistentestimatof?.ProofSince2222)]([]))()([(])[(????????????nYnnnnYEYEYEYEYEnSoina

9、ccdancewithChebyshev’sinequalitywehave??????????nYEYEYnYnnnas0)]([])[()|Pr(|22222???????fevery0??.Thusaccdingtothedefinitionofconsistentestimatwecompletetheproof.6.7.FeachofthedistributionsinExercise6.1findanestimatof?by

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