數(shù)學(xué)數(shù)列中由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)題型歸類

1、1數(shù)列中由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)題型歸類數(shù)列中由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)題型歸類新教材明確指出：數(shù)列可以由其遞推關(guān)系式及前幾項(xiàng)給定。根據(jù)遞推關(guān)系求解通項(xiàng)，除用計(jì)算猜想證明的思路外，通常還可以對(duì)某些遞推關(guān)系式進(jìn)行變換，從而轉(zhuǎn)化成等差、等比數(shù)列或易于求出通項(xiàng)的數(shù)列的問(wèn)題來(lái)解決。下面分類說(shuō)明這些常見(jiàn)的遞推關(guān)系的類型及其解法。1類型一類型一：（其中d是常數(shù)）daann???1顯然，由知｛｝是等差數(shù)列，則daann???1nadnaan)1(1???2

2、類型二類型二：（其中q是不為0的常數(shù)）qaann??1顯然，則知｛｝是等比數(shù)列，于是qaann??1na11??nnqaa3類型三類型三：，方法：疊加法方法：疊加法)(1nfaann???例1、在數(shù)列｛｝中，，且，求.na11?annnaa21???na解：由得，nnnaa21???1122??aa2232??aa…………112????nnnaa由上面等式疊加得，22212222......2211211?????????????nnn

3、naa故。12??nna4類型四類型四：，方法：疊乘法方法：疊乘法nnanfa???)(1例2、在數(shù)列｛｝中，，且，求.na21?annanna)2(1???na解：由已知得，，則有，，，……nnaann21???1312?aa2423?aa3534?aa，，這（）個(gè)等式疊乘得，，則221????nnaann111????nnaann1?n21)1(1???nnaan。)1(??nnan3解：∵，∴，即數(shù)列｛｝是以為首221???nnn

4、aaa2112211?????nnnnaaaana1111?a項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，即。2121)1(11????nan12??nan變式變式：若類型七變?yōu)榈慕Y(jié)構(gòu)時(shí)，仍可使用倒數(shù)法倒數(shù)法。qparaannn???1例7、在數(shù)列｛｝中，若，，求.na11?a2231???nnnaaana解：∵，∴，令，則2231???nnnaaa3213232211??????nnnnaaaannab1?，利用類型五知，，則。32321???nnbb

5、1)32(2???nnb1)32(21???nna8類型八類型八：（其中p，r為常數(shù)，且）rnnapa???100??nap方法：對(duì)數(shù)法方法：對(duì)數(shù)法例8、在數(shù)列｛｝中，若，，求.na31?a21nnaa??na解：由，知，對(duì)兩邊取以3為底的對(duì)數(shù)得，31?a21nnaa??0?na21nnaa??，則數(shù)列｛｝是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，nnaa33log2log1??na3log1log13?a則，，即。113221log?????n

6、nan123??nna9類型九類型九：（其中p，q為常數(shù)，且）11????nnnqapaa1??qp方法：轉(zhuǎn)化法方法：轉(zhuǎn)化法例9、數(shù)列｛｝中，若，，且滿足，求.na81?a22?a03412?????nnnaaana解：把變形為，則數(shù)列03412?????nnnaaa)(3112nnnnaaaa??????｛｝是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，則nnaa??1612???aa1136??????nnnaa利用類型三的方法可得，。nna31