小波分析及應用(附常用小波變換濾波器系數(shù))

1、第八章小波分析理論及應用16第八章第八章小波分析及應用小波分析及應用8.1引言引言把函數(shù)分解成一系列簡單基函數(shù)的表示，無論是在理論上，還是實際應用中都有重要意義。1822年法國數(shù)學家傅里葉(J.Fourier17681830)發(fā)表的研究熱傳導理論的“熱的力學分析”，提出并證明了將周期函數(shù)展開為正弦級數(shù)的原理，奠定了傅里葉級數(shù)理論的基礎[1]。傅里葉級數(shù)理論研究的是把函數(shù)在三角函數(shù)系下的展開，使得對信號和系統(tǒng)的研究歸結為對簡單的三角函數(shù)的

2、研究。傅里葉級數(shù)與傅里葉變換共同組成了平常所說的傅里葉分析[2]。傅里葉級數(shù)用于分析周期性的函數(shù)或分布，理論分析時經常假定周期是，定義如式(8.11)、(8.12)?2，(8.11)?????202Lxf??????????kikxkecxf其中(8.12)??dxexfcikxk?????2021然而，被分析函數(shù)的性質并不能完整地由傅里葉系數(shù)來刻劃，這里有一個例子來說明[3]：從任一個平方可和的函數(shù)出發(fā)，為了得到一個連續(xù)函數(shù)，只需或者

3、增)(xf)(xg大f(x)的傅里葉系數(shù)的模，或者保持它不變并適當?shù)馗淖兿禂?shù)的位相。因此，不可能僅根據(jù)傅里葉系數(shù)大小的階就預知函數(shù)的性質（如大小、正則性）。傅里葉變換的定義如式(8.13)、(8.14)(8.13)????dxexfFxj???????(8.14)????????deFxfxj??????21通過引入廣義函數(shù)或分布的概念，可獲得奇異函數(shù)（如沖擊函數(shù)）的傅里葉變換的存在。對于時域的常量函數(shù)，在頻域將表現(xiàn)為沖擊函數(shù)，表明具有

4、很好的頻域局部化性質。由式(8.13)可知，為了得到，必須有關于f(x)的過去和未來的所有知識，???F而且f(x)在時域局部值的變化會擴散到整個頻域，也就是的任意有限區(qū)域的信息???F都不足以確定任意小區(qū)域的f(x)。在時域，哈爾(Haar)基是一組具有最好的時域分辨能力的正交基，它在時域上是完全局部化的，但在頻域的局部化卻很不好，這是由于哈爾系的兩個缺點：缺乏正則性與缺乏振動性。研究者們希望尋找關于空間變量（或時間變量）與頻域變量都

5、同時好的希爾伯特(Hilbert)基，R.Balian認為：“在通訊理論中，人們對于在完全給定的時間內，把一個振動信號表示成由其中每一個都擁有足夠確定的位置與有一個頻率的小波的疊加這件事感興趣。事實上，有用的信息常常同時被發(fā)射信號的頻率與信號的時間結構（如音樂）所傳遞。當把一個信號表達成時間的函數(shù)時，其中的頻譜表現(xiàn)并不好；相反地，信號的傅里分析卻顯示不了信號每一分量第八章小波分析理論及應用18波被認為是第二代小波[5]。小波理論及其應用

6、仍然處在發(fā)展中，其未來將在非線性多尺度方法、非規(guī)則集上的小波構造以及非平穩(wěn)、非均勻、時變信號處理等方面等到更深入的研究。8.2小波變換及其基本性質小波變換及其基本性質8.2.1連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換，的連續(xù)小波變換（有時也稱為積分小波變換）定義為：????RLtf2????tf(8.21)????021??????????????adtabttfabaWTf?或用內積形式：(8.22)??baffbaWT??式中???????????

7、abtatba??21要使逆變換存在，要滿足允許性條件：??t?(8.23)??????????????dC2?式中是的傅里葉變換。???????t?這時，逆變換為(8.24)??????21adadbbaWTtCtffba????????????這個常數(shù)限制了能作為“基小波（或母小波）”的屬于的函數(shù)的類，尤其是?C??RL2?若還要求是一個窗函數(shù)，那么還必須屬于，即????RL1????????dtt?故是R中的一個連續(xù)函數(shù)。由式(8