《風(fēng)險(xiǎn)理論》第1章_效用理論與保險(xiǎn)

1、風(fēng)險(xiǎn)理論,教材： R.卡爾斯，M.胡法茲等《現(xiàn)代精算風(fēng)險(xiǎn)理論》，科學(xué)出版社，2005.參考書(shū)： 吳嵐，王燕:《風(fēng)險(xiǎn)理論》，財(cái)經(jīng)出版社，2006 肖爭(zhēng)艷:《風(fēng)險(xiǎn)理論》，人大，2008 鄒公明，范興華：《風(fēng)險(xiǎn)理論》，上海財(cái)大，2006,風(fēng)險(xiǎn)理論與保險(xiǎn)精算概述,《風(fēng)險(xiǎn)理論》--準(zhǔn)精算師考試科目,一、風(fēng)險(xiǎn)的概念,人們習(xí)慣用“風(fēng)險(xiǎn)”這個(gè)詞來(lái)表達(dá)可能發(fā)生的不利事件和各種災(zāi)害。但是由于所面對(duì)的具體問(wèn)題和環(huán)境的不同，每個(gè)人對(duì)風(fēng)險(xiǎn)這個(gè)概念

2、的理解和描述也各不相同。風(fēng)險(xiǎn)是“無(wú)法預(yù)知”或“未卜先知”的。,討論題,根據(jù)自身經(jīng)歷，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行描述；2. 試想，如果人類能具備預(yù)知未來(lái)的能力，世界會(huì)是什么樣子？我們的生活又會(huì)是什么樣子？,二、風(fēng)險(xiǎn)的三要素,風(fēng)險(xiǎn)與三個(gè)因素直接有關(guān)：自然狀態(tài)的不確定性（人們不能預(yù)知的或無(wú)法控制的自然狀態(tài)—風(fēng)險(xiǎn)的客觀或外部原因）；人的主觀行為的不確定性（當(dāng)事人或決策者的行為—風(fēng)險(xiǎn)的主觀或內(nèi)部原因）；兩者結(jié)合所蘊(yùn)涵的潛在后果。,三、風(fēng)險(xiǎn)的保險(xiǎn)學(xué)定

3、義,在保險(xiǎn)學(xué)中，風(fēng)險(xiǎn)由兩部分構(gòu)成：潛在不利后果的嚴(yán)重程度如何；發(fā)生不利后果的可能性多大。風(fēng)險(xiǎn)被簡(jiǎn)單地定義為“潛在損失的概率”。,四、保險(xiǎn)業(yè)務(wù)分類壽險(xiǎn)：以被保險(xiǎn)人的生命為標(biāo)的，以生死為事故。 壽險(xiǎn)的保險(xiǎn)期相對(duì)較長(zhǎng)，損失分布的規(guī)律（生命表）也比較穩(wěn)定。非壽險(xiǎn)：除了壽險(xiǎn)以外的一切保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，如財(cái)物險(xiǎn)、車輛險(xiǎn)等。 非壽險(xiǎn)多為短期保險(xiǎn)，損失情況五花八門(mén)，損失分布規(guī)律也比較復(fù)雜。,五、保險(xiǎn)精算的基本問(wèn)題,精算學(xué)以現(xiàn)代數(shù)學(xué)

4、和統(tǒng)計(jì)學(xué)為基礎(chǔ), 對(duì)保險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)中的某些問(wèn)題進(jìn)行定量化的分析和研究, 為保險(xiǎn)公司進(jìn)行科學(xué)決策和提高管理水平提供依據(jù)和方法。 精算師要解決的幾個(gè)基本問(wèn)題：（1）保費(fèi)設(shè)計(jì)；（2）準(zhǔn)備金評(píng)估；（3）再保險(xiǎn)設(shè)計(jì)；（4）資產(chǎn)負(fù)債與償付能力管理。,中國(guó)精算師資格考試,中國(guó)精算師資格考試分為兩個(gè)層次，第一層次為準(zhǔn)精算師資格考試，第二層次為精算師資格考試。準(zhǔn)精算師考試目的在于考察考生對(duì)保險(xiǎn)精算的基本原理和技能的掌握，并涉及基本保險(xiǎn)精算實(shí)務(wù)，考

5、試課程共設(shè)9門(mén)，均為必考課程。,準(zhǔn)精算師資格考試科目,01數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（Ⅰ）：微積分、線性代數(shù)、運(yùn)籌學(xué)02數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（Ⅱ）：概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、應(yīng)用統(tǒng)計(jì)03復(fù)利數(shù)學(xué)04壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)05風(fēng)險(xiǎn)理論：損失分布、風(fēng)險(xiǎn)模型、效用理論06生命表基礎(chǔ)07壽險(xiǎn)精算實(shí)務(wù)08非壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)與實(shí)務(wù)09綜合經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ),課程內(nèi)容,第一章 效用理論與保險(xiǎn)第二章 個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)模型第三章 聚合風(fēng)險(xiǎn)模型第四章 破產(chǎn)理論第五章 保費(fèi)原理,第一章 效用理論與保險(xiǎn),

6、§1.1 引言,本書(shū)第二至第四章討論的個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)模型、聚合風(fēng)險(xiǎn)模型和破產(chǎn)理論，無(wú)疑是分析和解決保險(xiǎn)公司經(jīng)營(yíng)管理中諸多關(guān)鍵問(wèn)題如產(chǎn)品定價(jià)、準(zhǔn)備金提留、再保險(xiǎn)自留額安排等問(wèn)題的基礎(chǔ)。然而這些討論都是基于對(duì)理賠風(fēng)險(xiǎn)的正確把握進(jìn)行的，這僅是問(wèn)題的一個(gè)方面。 本章是從另外的角度，也就是從決策者的主觀角度來(lái)討論風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題，具體是從保險(xiǎn)人或被保險(xiǎn)人的偏好出發(fā)討論他們的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度。并用效用函數(shù)作為描述和度量決策者偏好和

7、風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的工具。,效用理論的幾個(gè)基本假設(shè),風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度：對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度可以分為三種：風(fēng)險(xiǎn)厭惡、風(fēng)險(xiǎn)偏好和風(fēng)險(xiǎn)中性。,例：我們有這樣的二種選擇：A：0.1%的機(jī)會(huì)得到10000元錢(qián)，99.9%的機(jī)會(huì)什么也得不到。B：100%的機(jī)會(huì)得到10元。選擇A？或B？,選擇A：偏好風(fēng)險(xiǎn)；選擇B ：厭惡風(fēng)險(xiǎn),例：我們有這樣的二種選擇：A：0.1%的失去10000元錢(qián)，99.9%的機(jī)會(huì)不損失。B：100%的機(jī)會(huì)失去10元。選擇A？或B？,選擇B：

8、厭惡風(fēng)險(xiǎn)選擇A ：偏好風(fēng)險(xiǎn),§1.2 期望效用模型,如果B 非常小，那么P幾乎不會(huì)大于0.01B；如果B略微大一點(diǎn)，如500，那么P就可能比5 稍大一些；如果B 非常大，那么P 就會(huì)比0.01B大很多。,結(jié)論：因?yàn)檫@么大的損失一但發(fā)生可能導(dǎo)致破產(chǎn)，因此可以付出比期望值高的費(fèi)用為風(fēng)險(xiǎn)投保。,邊際效用遞減原理,,效用的概念是丹尼爾.伯努利在解釋圣彼得堡悖論時(shí)提出來(lái)的主要包括兩條原理：邊際效用遞減原理和最大期望效用原理。邊際

9、效用遞減原理：個(gè)人對(duì)所追求的商品和財(cái)富的滿足程度由其效用值衡量，且隨著其商品和財(cái)富的絕對(duì)數(shù)量的增加而增加，但增加的速率卻隨著其絕對(duì)數(shù)量的增加而逐漸降低。討論題：舉例說(shuō)明上述原理的正確性。,邊際效用原理的主要涵義,最大期望效用原理,,,效用函數(shù)的確定,人們?cè)谧瞿硞€(gè)決策時(shí)，不自覺(jué)地使用這效益函數(shù)，因此效用函數(shù)是客觀存在的，但卻很難給出一個(gè)明確的解析式?？梢韵驔Q策人提出大量的問(wèn)題，通過(guò)他們對(duì)這些問(wèn)題的回答來(lái)決定該決策人的效用函數(shù)。如“

10、為了避免以概率q損失1個(gè)單位貨幣，你愿意支付多少保費(fèi)P？”,效用函數(shù)的基本特征,,Jensen不等式的證明,根據(jù)Jensen 不等式確定保費(fèi),（1）被保險(xiǎn)人方面：,（2）保險(xiǎn)人方面：,成交！,,,在后面式子的兩邊同時(shí)取期望，得到,因此，風(fēng)險(xiǎn)X 的最大保費(fèi)　　近似為,,,使用風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù) ，則對(duì)風(fēng)險(xiǎn)X 所需最大保費(fèi)　　近似為由上式可見(jiàn)，均值-方差保費(fèi)原理是合理的。,,將（1.13）與（1.14）代入（1.10），得到,,,,注意

11、到　　 用　　　　替換時(shí)，　 并沒(méi)有改變。從（1.18），我們可以看到風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)真正反映了風(fēng)險(xiǎn)厭惡的程度：對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度越高，需要支付的保費(fèi)也越大。,§1.3 效用函數(shù)族,線性效用函數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)是 0；指數(shù)效用函數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)是 ；其它效用函數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)均可表示為 。,,,,,-,,,把 代入均衡方程（1.11）得,其中

12、 是X 的矩母函數(shù)， 代表風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)。指數(shù)保費(fèi)隨著 增加而增加，而與保險(xiǎn)人當(dāng)前的財(cái)富無(wú)關(guān)。更有意義的是， 被保險(xiǎn)人的最大保費(fèi) 的表達(dá)同 ，但是其使用的參數(shù) 會(huì)有所不同。,,矩母函數(shù),一、定義：設(shè)X為隨機(jī)變量，如果以下數(shù)學(xué)期望存在，則稱它為X的矩母函數(shù)，記為 。二、矩母函數(shù)的性質(zhì)（1）若隨機(jī)變量X的各階中心矩 存在，則（2）隨機(jī)變量

13、的期望值與方差和矩母函數(shù)具有下列關(guān)系上式中 稱為累積量母函數(shù)。（3）如果隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，則,常用分布的矩母函數(shù),,,,,,如果被保險(xiǎn)人的效用函數(shù)是參數(shù)為 的指數(shù)效用函數(shù)，則最大保費(fèi)為,例：假設(shè)損失X 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布， 令 ，則,,,,,,因此被保險(xiǎn)人愿意在純保費(fèi) 之上附加相當(dāng)數(shù)量的額外保費(fèi)。,138.6>100（均值）,由

14、例1.2.4中的近似公式(1.18)得,顯然，近似表達(dá)式(1.22)隨 遞增。 如果X 是方差有限的非負(fù)隨機(jī)變量，則(1.20)所決定的保費(fèi)也是隨 遞增的，具體證明如下。令,,由Jensen 不等式知,,取 則 且,,,對(duì)任意 ，通過(guò)對(duì)上述不等式兩邊取對(duì)數(shù)，得,,由此證明，指數(shù)保費(fèi)隨著厭惡系數(shù)的增加而增加。特別地，在

15、 和 兩個(gè)極端情況，有,,由方程(1.10)，發(fā)生損失X 之后的期望效用為,以及支付保費(fèi)P之后的效用為,,根據(jù)（1.10），（1.28）與（1.29）右端應(yīng)當(dāng)相等，由此求得最大保費(fèi)為：,容易驗(yàn)證， ，故保費(fèi)將隨著財(cái)富的增加，且 。,例1.3.3（不可保的風(fēng)險(xiǎn)） 某決策者使用風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)為 的指數(shù)效用函數(shù)，他想對(duì)分布為 的

16、風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行投保，其中 表示參數(shù)為a, b的伽瑪分布．確定 并證明 ，何時(shí) ，此時(shí)說(shuō)明了什么？,,,,,,分布 的矩母函數(shù)為 ，,因?yàn)?, 我們有 .因而 所以，計(jì)算出的保費(fèi)大于純保費(fèi)。如果

17、 ，則 ，這表明決策者愿意支付任何有限的保費(fèi)。按照效用理論，如果風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)為 ，那么承保該風(fēng)險(xiǎn)的保險(xiǎn)人對(duì)于任何有限的保費(fèi)P，都會(huì)遭受損失，因?yàn)?。對(duì)于保險(xiǎn)人來(lái)說(shuō)，這種風(fēng)險(xiǎn)是不可保的。,,,,,,,,Allais悖論,考慮下面可能的資本收益很多人會(huì)選擇X,其實(shí) ，由此可見(jiàn)期望效益并不總能反映決策者的行為。完全沒(méi)有風(fēng)險(xiǎn)的

18、狀態(tài)與期望效用指標(biāo)相比，對(duì)決策著可能更有吸引力。,§1.4 停止損失再保險(xiǎn)的最優(yōu)性,再保險(xiǎn)合同通常只承保保險(xiǎn)人的一部分風(fēng)險(xiǎn)。停止損失(再）保險(xiǎn)承保損失超出指定免賠額 的超額部分。它的定義如下：如果發(fā)生的損失為X(我們假設(shè) ) ， 則理賠支付 為,,對(duì)于停止損失保險(xiǎn)，其純保費(fèi)為 ，稱為停止損失保費(fèi)，記為,,在離散情形， 為階梯函數(shù)，其在x 處的跳為

19、 ；在連續(xù)情形， 有導(dǎo)函數(shù) 兩種情形下的停止損失保費(fèi)都可由下式給出,,,,,現(xiàn)在的問(wèn)題是：對(duì)于保險(xiǎn)人來(lái)說(shuō)，應(yīng)該對(duì)損失X設(shè)置多大的免賠額d？在再保險(xiǎn)問(wèn)題上，就是保險(xiǎn)人應(yīng)該預(yù)留多大的自留額？這是再保險(xiǎn)的一個(gè)核心問(wèn)題。,免賠額（自留額）的確定,定理：（停止損失再保險(xiǎn)期望效用最大）若風(fēng)險(xiǎn)厭惡型的投保人愿意付出的保費(fèi)為P，則對(duì)他而言，具有最大期望效用的保險(xiǎn)形式是停止損失再保險(xiǎn)，當(dāng)免賠額 滿足下列方程時(shí)，

20、則有,證明：由于投保人是風(fēng)險(xiǎn)厭惡型的， ，因此,上面最后一個(gè)不等式成立，可分三種情況討論：（1） ，不等式以等號(hào)成立；（2） ， ，不等式也以等號(hào)成立；（3） ， ，

21、 ， ，最后的不等式成立。,對(duì)前面的不等式兩側(cè)取數(shù)學(xué)期望，得,定理得證。,,,,,定理1.4.l （停止損失再保險(xiǎn)的最優(yōu)性）用 記當(dāng)損失為 時(shí)，某再保險(xiǎn)合同約定的理賠支付。假設(shè) 對(duì)于任意 成立,則,,,,,,證明: 記,因?yàn)?

22、 ，所以只需證明,,上式成立的一個(gè)充分條件是 以概率1 成立．當(dāng) 時(shí)， ． ，顯然成立；當(dāng) 時(shí), 我們有 ，有,,,,,,停止損失保費(fèi)不僅使自留風(fēng)險(xiǎn)的方差達(dá)到最小，而且還使被保險(xiǎn)人的期望效用達(dá)到最大。,例1.4.2 （比例再保險(xiǎn)的最優(yōu)性） 假設(shè)保險(xiǎn)人收取保費(fèi)