高中常見數(shù)學模型案例

1、高中常見數(shù)學模型案例中華人民共和國教育部2003年4月制定的普通高中《數(shù)學課程標準》中明確指出：“數(shù)學探究、數(shù)學建模、數(shù)學文化是貫穿于整個高中數(shù)學課程的重要內(nèi)容”，“數(shù)學建模是數(shù)學學習的一種新的方式，它為學生提供了自主學習的空間，有助于學生體驗數(shù)學在解決問題中的價值和作用，體驗數(shù)學與日常生活和其他學科的聯(lián)系，體驗綜合運用知識和方法解決實際問題的過程，增強應用意識；有助于激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，發(fā)展學生的創(chuàng)新意識和實踐能力?！苯滩闹谐Ｒ娔?/p>

2、型有如下幾種:一、函數(shù)模型用函數(shù)的觀點解決實際問題是中學數(shù)學中最重要的、最常用的方法。函數(shù)模型與方法在處理實際問題中的廣泛運用，兩個變量或幾個變量，凡能找到它們之間的聯(lián)系，并用數(shù)學形式表示出來，建立起一個函數(shù)關(guān)系（數(shù)學模型），然后運用函數(shù)的有關(guān)知識去解決實際問題，這些都屬于函數(shù)模型的范疇。1、正比例、反比例函數(shù)問題例1：某商人購貨，進價已按原價a扣去25%，他希望對貨物訂一新價，以便按新價讓利銷售后仍可獲得售價25%的純利，則此商人經(jīng)營

3、者中貨物的件數(shù)x與按新價讓利總額y之間的函數(shù)關(guān)系是___________。分析：欲求貨物數(shù)x與按新價讓利總額y之間的函數(shù)關(guān)系式，關(guān)鍵是要弄清原價、進價、新價之間的關(guān)系。若設新價為b，則售價為b（1－20%），因為原價為a，所以進價為a（1－25％）解：依題意，有化簡得，所以25.0)2.01()25.01()2.01(??????babab45?，即xabxy????2.0452.0???Nxxay42、一次函數(shù)問題例2：某人開汽車以6

4、0kmh的速度從A地到150km遠處的B地，在B地停留1h后，再以50kmh的速度返回A地，把汽車離開A地的路x（km）表示為時間t（h）的函數(shù)，并畫出函數(shù)的圖像。分析：根據(jù)路程＝速度時間，可得出路程x和時間t得函數(shù)關(guān)系式x（t）；同樣，可列出v(t)的關(guān)系式。要注意v(t)是一個矢量，從B地返回時速度為負值，重點應注意如何畫這兩個函數(shù)的圖像，要知道這兩個函數(shù)所反映的變化關(guān)系是不一樣的。解：汽車離開A地的距離xkm與時間th之間的關(guān)系式

5、是：，圖略。???????????]5.65.3()5.3(50150]5.35.2(150]5.20[60tttttx速度vkmh與時間th的函數(shù)關(guān)系式是：，圖略。??????????)5.65.3[50)5.35.2[0)5.20[60tttv3、二次函數(shù)問題例3：有L米長的鋼材，要做成如圖所示的窗架，上半部分為半圓，下半部分為六個全等小矩形組成的矩形，試問小矩形的長、寬比為多少時，窗所通過的光線最多，并具體標出窗框面積的最大值。2

6、424004575.110000004575.11004575.11?????x即2424004575.11)004575.11(004575.110000?????x解之得91.440?x提出問題：如果采用上述分期付款方式貸款a元，m個月將款全部付清，月利率為r，那么每月付款款額的計算公式是什么？顯然問題轉(zhuǎn)化為建立關(guān)于x的方程。設采用分期付款方式貸a元，m個月將款全部付清，月利率為r，每月付款x元，那么：把右邊求和，得，rrxramm

7、]1)1[()1(????所以：萬元。1)1()1(????mmrrarx三、初等概率模型古典概率不僅要求基本實踐的出現(xiàn)具有等可能性，而且要求樣本空間為有限集，但實際問題中卻經(jīng)常會碰到無限樣本空間的情形，對于無限樣本空間的情形，常可轉(zhuǎn)化為幾何概率來解決。例5：將n個球隨機地放入n個盒子中去，求每個盒子恰有一個球的概率。分析與求解：因為每一個球都可以放進n個盒子中的任一個盒子，共有n種不同的放法，n個球放進n個盒子就有nn…n=種不同的放

8、法，而每種放法就是樣本空間中nn的一個元素，所以樣本空間中元素的總數(shù)為個?，F(xiàn)在來求每個盒子恰有一個球時，球的nn不同放法的種數(shù)。第一個球可以放進n個盒子之一，有n種放法；第二個球只能放進余下的（n1）個盒子之一，有（n1）種放法，…，最后一個球只可以放進唯一余下的盒子，所以n個球放進n個盒子中要使每個盒子中都恰有一個球，共有種不同的放法，因而所求得概率為：!n。nnnAAP?)(幾何概率所描述的隨機試驗滿足：試驗的樣本空間是一個可度量的

9、幾何區(qū)域（這個區(qū)域可以是一維、二維甚至n維）；試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性都一樣，即樣本點落入某一個可度量的子集A的可能性與A的幾何測度成正比，而與A的形狀及位置無關(guān)。如下面的例子“會面問題”是幾何概率的典型例子。例7：兩位網(wǎng)友相約見面，約定在下午4:00到5:00之間在某一街角相會，他們約好當其中一人先到后，一定要等另一人20分鐘，若另一人仍不到則離去，試問這兩位朋友能相遇的概率為多少？（假定他們到達約定地點的時間是隨機的，且都在約