[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五章

1、定理1(切比雪夫定理) 設(shè)X1,X2,...,Xn,...是相互獨立的隨機變量序列若存在常數(shù)C,使得D(Xi)≤C. (i=1,2,...n),則對任意給定的ε>0,有,證明: 由于X1,X2,...,Xn相互獨立,故,再由切比雪夫不等式,可得,第五章 大 數(shù) 定 律 與 中 心 極 限 定 律,§ 5.1大 數(shù) 定 律,當(dāng)n→∞時,取極限就得到(1)式,定理2(切比雪夫定理的特殊情況) 設(shè)X

2、1,X2,...,Xn,...是相互獨立的隨機變量序列,且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差:E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2,(i=1,2,...)則對于給定的ε>0,有,定理2可由定理1得到證明.這里我們說明上述兩個定理都在概率意義下的極限結(jié)論,通常稱為依概率收斂. 一般,設(shè)X1,X2,..Xn是一個隨機變量序列,a是一個常數(shù),若對于任意給定的ε>0,有 limP{|Xn-a|<ε}=1 則稱該序列依概率收斂于a.,

3、,定理2表明:當(dāng)n很大時隨機變量 的算術(shù)平X=Σ /n在概率意義下接近于數(shù)學(xué)期望E( )=μ.即表示在定理2的條件下,n個隨機變量的算術(shù)平均值在n無限增大時,幾乎變成一個常數(shù).它反映了大量測量值的算術(shù)平均值的穩(wěn)定性,這就從理論上肯定了用算術(shù)平均值代替理論均值的合理性.貝努里定理. 它的敘述如下:設(shè)是n次重復(fù)獨立 對于任意給定的ε>0,有,其中nA/n是頻率,p是概率,即次數(shù)多

4、,時事件發(fā)生的頻率收斂于概率.表示頻率的穩(wěn)定性.,定理3,即,定理3表明事件A發(fā)生的頻率nA/n依概率收斂于事件A的概率p.定理3以嚴格的數(shù)學(xué)形式表達了頻率的穩(wěn)定性.因此在實際應(yīng)用中,當(dāng)n很大時,我們可用事件的頻率來代替概率.,例1 設(shè) X 是拋一顆骰子所出現(xiàn)的點數(shù)，若給定X =1，2，實際計算 ，并驗證切貝謝夫不等式成立。,分析：因為X 的概率函數(shù),例2 在n重

5、貝努里試驗中，若知道每次試驗A出現(xiàn)的概率為0.75 試用切貝謝夫不等式求n.使A出現(xiàn)的頻率在0.74到0.76之間的概 率不少于0.9? 分析:設(shè)n重貝努里試驗A出現(xiàn)的次數(shù)為 , 服從二項分布,n重貝努里試驗A出現(xiàn)的頻率為,/n,,例4 設(shè)電站供電網(wǎng)有10000個電燈，夜晚每一盞燈開燈的概率 是0.7.而假定開關(guān)時間彼此獨立,估計夜晚同時開著燈數(shù)在6800和7200之間的概率?

6、 分析:令 為夜晚同時開著燈的數(shù)目.它服從參n=100000,p=0.7 的二項分布.用貝努里公式,用切貝謝夫不等式估計,可見雖有10000盞燈,只要電力供應(yīng)7200盞燈即有相當(dāng)大的保 證率切貝謝夫不等式對這類問題的計算有較大價值,但它的精度 不高.為此我們研究下面的內(nèi)容.,§ 5.2 中 心 極 限 定 理,在隨機變量的一切可能性的分布律中，正態(tài)分布占有特殊的地位事實上遇到

7、的大量隨機變量都服從正態(tài)分布。自然會提出為什么正態(tài)分布如此廣泛地存在，而且在概率論中占有重要地位。應(yīng)該如何解釋大量隨機現(xiàn)象中這一客觀規(guī)律性呢？ 李雅普夫證明：在某些非常一般的充分條件下，獨立隨機變量的和的分布，當(dāng)隨機變量的個數(shù)無限增加時是趨向正態(tài)分布的。此后林德伯格又成功地找到獨立隨機變量和的分布，當(dāng)隨機變量的個數(shù)無限增加時趨向正態(tài)分布的更一般的充分條件。概率論中有關(guān)論證隨機變量的和的極限分布是正態(tài)分布的一般定理稱為中心極限定理

8、。,,,定理5(獨立同分布的中心極限定理) 設(shè)相互獨立的隨機變量 ...具有相同的分布,且具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差,E( )=μ,D( )=σ2≠0(k=1,2,..),則隨機變量,的分布函數(shù)Fn(y)滿足,,,,,,,,,,,,s,m,s,m,h,n,n,X,n,X,n,k,k,n,k,k,n,-,=,-,=,å,å,=,=,1,1,*,),(,X,k,X,k,定理6 設(shè)隨

9、機變量ηn(n=1,2,...)服從參數(shù)為n,p(0<p<1)的二項分布,則對于任意x,恒有,證明 由于服從二項分布的隨機變量ηn可看成n個相互獨立,服從同一個(0-1)分布的隨機變量X1,X2,...Xn之和,即ηn=∑Xi其中Xi(i=1,2,...,n)的分布律為 P{Xi=k}=Pk(1-P)1-k (k=0,1)而 E(Xi)=P, D(Xi)=P(1-P) (i=1,2,...,n),

10、根據(jù)定理5(獨立同分布定理),φ[(X-μ)/σ]~N(0,1)的概率密度函數(shù),,定理6表明,正態(tài)分布也是二項分布的極限分布(二項分布的另一極限分布是泊松分布).當(dāng)n充分大時,我們可利用定理6來計算二項分布的概率.,,例1 對敵人某地段進行100次轟炸，每次轟炸命中目標(biāo)的炸彈數(shù)目是一個隨機變量，其期望值為2，方差為1.69.求100次轟炸中有180顆到220顆炸彈命中目標(biāo)的概率? 分析:令第 I次轟炸命中目標(biāo)的次數(shù)

11、 .100次轟炸中命中目標(biāo)次數(shù) 應(yīng)用中心極限定理 服從正態(tài)分布期望值為200,方差為169,標(biāo)準(zhǔn)差為13,二項分布以正態(tài)分布為極限,例2 10部機器獨立工作,每部停機的概率為0.2.求3部機器同時停機的概率? 分析:機器停機是獨立變量,且服從二項分布.,(1)直接計算,(2)用局部定理,如果n大于50,則誤差就不會產(chǎn)生.,在上二節(jié)中我們計算它的概率為0.95.現(xiàn)在利用局部定理,

12、設(shè)電站供電網(wǎng)有10000個電燈，夜晚每一盞燈開燈的概率是0.7.而假定開關(guān)時間彼此獨立,估計夜晚同時開著燈數(shù)在6800和7200之間的概率?,例3,數(shù)理統(tǒng)計的特點:它以隨機現(xiàn)象的觀察試驗取得資料作為出發(fā)點,以概率論為理論基礎(chǔ)來研究隨機現(xiàn)象.根據(jù)資料為隨機現(xiàn)象選擇數(shù)學(xué)模型,且利用數(shù)學(xué)資料來驗證數(shù)學(xué)模型是否合適,在合適的基礎(chǔ)上再研究它的特點,性質(zhì)和規(guī)律性. 例如燈泡廠生產(chǎn)燈泡,將某天的產(chǎn)品中抽出幾個進行試驗.試驗前不知道該天燈泡

13、的壽命有多長,概率和其分布情況.試驗后得到這幾個燈泡的壽命作為資料,從中推測整批生產(chǎn)燈泡的使用壽命.合格率等.為了研究它的分布,利用概率論提供的數(shù)學(xué)模型進行指數(shù)分布,求出 值,再利用幾天的抽樣試驗來確定指數(shù)分布的合適性.,由于燈泡使用壽命的試驗是破壞性試驗.不能將所有的燈泡都進行試驗.只能取部分的燈泡作試驗.這產(chǎn)生二個問題.1是抽取的燈泡是否有代表性.因為燈泡試驗是一種隨機現(xiàn)象,代表性強的效果好.我們稱為抽樣方法.2是搜集到的數(shù)據(jù)

14、怎樣進行正確的分析,是否能正確地推斷出整體情況.我們稱為統(tǒng)計推斷. 數(shù)理統(tǒng)計的重要內(nèi)容是抽樣方法和統(tǒng)計推斷.學(xué)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計要注意1,抽樣的本身是隨機現(xiàn)象,它以概率論為基礎(chǔ)的.數(shù)學(xué)期望和方差都依靠概率論的結(jié)果.,因此要學(xué)好概率論.2,在學(xué)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計時需要用部分的資料來正確地推斷整體的情況,到底要多少資料才有把握,它們的精確度如何,希望同學(xué)在學(xué)習(xí)中注意. 數(shù)理統(tǒng)計的方法屬于歸納法,由大量的資料作依據(jù),而不是從根據(jù)某種事實進行假設(shè)

15、,按一定的邏輯推理得到的.例如統(tǒng)計學(xué)家通過大量觀察資料得出吸煙和肺癌有關(guān),吸煙者得肺癌的人比不吸煙的多好幾倍.因此得到這個結(jié)論. 數(shù)理統(tǒng)計的應(yīng)用范圍很廣泛.在政府部門要求有關(guān)的資料給政府制定政策提供參考.由局部推斷整體,學(xué)生的假期作的社會調(diào)查就是給政府提供資料,從中推測那種因素為主要,預(yù)測該政策執(zhí)行過程中會產(chǎn)生多少后果,影響大的如何消除不利因素,防止社會動亂.,數(shù)理統(tǒng)計在生產(chǎn)上,研究工作中具有廣泛的作用.例如化工產(chǎn)品的研究,它有