[學習]概率論與數(shù)理統(tǒng)計浙大四版第二章4講

1、,3.正態(tài)分布 (normal distribution ),正態(tài)分布是應用最廣泛的一種連續(xù)型分布.,正態(tài)分布在十九世紀前葉由高斯加以推廣，所以通常稱為高斯分布.,德莫佛,德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項概率的一個近似公式，這一公式被認為是正態(tài)分布的首次露面.,平時，我們很少有人會去關(guān)心小球下落位置的規(guī)律性，人們可能不相信它是有規(guī)律的。一旦試驗次數(shù)增多并且注意觀察的話，你就會發(fā)現(xiàn)，最后得出的竟是一條優(yōu)美的曲線。,,高爾

2、頓釘板試驗,這條曲線就近似我們將要介紹的正態(tài)分布的密度曲線。,正態(tài)分布的定義是什么呢？,對于連續(xù)型隨機變量，一般是給出它的概率密度函數(shù)。,一、正態(tài)分布的定義,若r.v X的概率密度為,記作,f (x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線.,其中 和 都是常數(shù)， 任意， >0，則稱X服從參數(shù)為 和 的正態(tài)分布.,正態(tài)分布有些什么性質(zhì)呢？,由于連續(xù)型隨機變量唯一地由它的密度函數(shù)所描述，我們來看

3、看正態(tài)分布的密度函數(shù)有什么特點。,二、正態(tài)分布 的圖形特點,正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于 對稱的鐘形曲線.,特點是“兩頭小，中間大，左右對稱”.,決定了圖形的中心位置， 決定了圖形中峰的陡峭程度.,正態(tài)分布 的圖形特點,能不能根據(jù)密度函數(shù)的表達式，得出正態(tài)分布的圖形特點呢？,容易看到，f(x)≥0,即整個概率密度曲線都在x軸的上方;,故f(x)以μ為對稱軸，并在x=

4、μ處達到最大值:,令x=μ+c, x=μ-c (c>0), 分別代入f (x), 可得,f (μ+c)=f (μ-c),且 f (μ+c) ≤f (μ), f (μ-c)≤f (μ),,這說明曲線 f(x)向左右伸展時，越來越貼近x軸。即f (x)以x軸為漸近線。,當x→ ?∞時，f(x) → 0,,用求導的方法可以證明，,為f (x)的兩個拐點的橫坐標。,x = μ ? σ,這是高等數(shù)學的內(nèi)容，如果忘記了，課下再復習一下。,

5、正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征總結(jié),下面是我們用某大學男大學生的身高的數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖。,紅線是擬合的正態(tài)密度曲線,可見，某大學男大學生的身高應服從正態(tài)分布。,人的身高高低不等，但中等身材的占大多數(shù)，特高和特矮的只是少數(shù)，而且較高和較矮的人數(shù)大致相近，這從一個方面反映了服從正態(tài)分布的隨機變量的特點。,請同學們想一想，實際生活中具有這種特點的隨機變量還有那些呢？,除了我們在前面的身高外,在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標，如零件的尺寸；纖維的

6、強度和張力；農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗長、株高；測量誤差，射擊目標的水平或垂直偏差；信號噪聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分布.,服從正態(tài)分布 的隨機變量X的概率密度是,X的分布函數(shù)P(X≤x)是怎樣的呢？,正態(tài)分布由它的兩個參數(shù)μ和σ唯一確定， 當μ和σ不同時，是不同的正態(tài)分布。,標準正態(tài)分布standard normal distribution,下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布,三、標準正態(tài)分布

7、,的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布.,其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用 和 表示：,它的依據(jù)是下面的定理：,標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布.,根據(jù)定理1,只要將標準正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題.,Theorem1,書末附有標準正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計算查表.,四、正態(tài)分布表,表中給的是x>0時

8、, Φ(x)的值.,當-x<0時,若,~N(0,1),若 X～N(0,1),,由標準正態(tài)分布的查表計算可以求得，,這說明，X的取值幾乎全部集中在[-3,3]區(qū)間內(nèi)，超出這個范圍的可能性僅占不到0.3%.,當X～N(0,1)時，,P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826,P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544,P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974,五、3 準則,將上述結(jié)論推廣到

9、一般的正態(tài)分布,,時，,這在統(tǒng)計學上稱作“3 準則” （三倍標準差原則）.,,例4 公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機會在0.01以下來設(shè)計的.設(shè)男子身高X～N(170,62),問車門高度應如何確定?,解: 設(shè)車門高度為h cm,按設(shè)計要求,P(X≥ h)≤0.01,或 P(X< h)≥ 0.99，,下面我們來求滿足上式的最小的 h.,看一個應用正態(tài)分布的例子:,因為X～N(170,62),,查表

10、得 (2.33)=0.9901>0.99,所以 =2.33,,即 h=170+13.98 184,設(shè)計車門高度為184厘米時，可使男子與車門碰頭機會不超過0.01.,(1) 所求概率為,解,例5,這一講，我們介紹了正態(tài)分布，它的應用極為廣泛，在本課程中我們一直要和它打交道.,后面第五章中，我們還將介紹為什么這么多隨機現(xiàn)象都近似服從正態(tài)分布 .,,,,,練習,畢達哥拉斯悖論（希帕索斯）與第一次數(shù)學危

11、機（公元前5世紀）,,希帕索斯悖論的提出與勾股定理的發(fā)現(xiàn)密切相關(guān)。因此，我們從勾股定理談起。勾股定理是歐氏幾何中最著名的定理之一。天文學家開普勒曾稱其為歐氏幾何兩顆璀璨的明珠之一。它在數(shù)學與人類的實踐活動中有著極其廣泛的應用，同時也是人類最早認識到的平面幾何定理之一。在我國，最早的一部天文數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中就已有了關(guān)于這一定理的初步認識。不過，在我國對于勾股定理的證明卻是較遲的事情。一直到三國時期的趙爽才用面積割補給出它的第一種證明

12、。,,在國外，最早給出這一定理證明的是古希臘的畢達哥拉斯。因而國外一般稱之為“畢達哥拉斯定理”。并且據(jù)說畢達哥拉斯在完成這一定理證明后欣喜若狂，而殺牛百只以示慶賀。因此這一定理還又獲得了一個帶神秘色彩的稱號：“百牛定理”。 畢達哥拉斯是公元前五世紀古希臘的著名數(shù)學家與哲學家。他曾創(chuàng)立了一個合政治、學術(shù)、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達哥拉斯學派。由畢達哥拉斯提出的著名命題“萬物皆數(shù)”是該學派的哲學基石。而“一切數(shù)均可表成整數(shù)或整數(shù)之比

13、”則是這一學派的數(shù)學信仰。然而，具有戲劇性的是由畢達哥拉斯建立的畢達哥拉斯定理卻成了畢達哥拉斯學派數(shù)學信仰的“掘墓人”。,,畢達哥拉斯定理提出后，其學派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長度既不能用整數(shù)，也不能用分數(shù)表示，而只能用一個新數(shù)來表示。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導致了數(shù)學史上第一個無理數(shù)√2 的誕生。小小√2的出現(xiàn)，卻在當時的數(shù)學界掀起了一場巨大風暴。它直接動搖了畢達哥拉斯學派的數(shù)學信仰，

14、使畢達哥拉斯學派為之大為恐慌。實際上，這一偉大發(fā)現(xiàn)不但是對畢達哥拉斯學派的致命打擊。對于當時所有古希臘人的觀念這都是一個極大的沖擊。希帕索斯因此被處以絞刑。,,一直到18世紀，當數(shù)學家證明了基本常數(shù)如圓周率是無理數(shù)時，擁護無理數(shù)存在的人才多起來。到十九世紀下半葉，現(xiàn)在意義上的實數(shù)理論建立起來后，無理數(shù)本質(zhì)被徹底搞清，無理數(shù)在數(shù)學園地中才真正扎下了根。無理數(shù)在數(shù)學中合法地位的確立，一方面使人類對數(shù)的認識從有理數(shù)拓展到實數(shù)，另一方面也真正徹