[學(xué)習(xí)]復(fù)變函數(shù)與積分變換課件8.1傅立葉變換的概念

1、第八章 Fourier 變換,Fourier 變換是積分變換中常見的一種變換，它既能夠,簡化運算 ( 如求解微分方程、化卷積為乘積等等 )，又具有,非常特殊的物理意義。,的地位，而且在各種工程技術(shù)中都有著廣泛的應(yīng)用。,展起來的。在微積分課程中已經(jīng)學(xué)習(xí)了Fourier 級數(shù)的有關(guān),內(nèi)容，因此本節(jié)將先簡單地回顧一下 Fourier 級數(shù)展開。,§8.1 Fourier 變換的概念,因此，F(xiàn)ourier 變換不僅在數(shù)學(xué)的許多分支中

2、具有重要,Fourier 變換是在周期函數(shù)的 Fourier 級數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā),§8.1 Fourier 變換的概念,一、周期函數(shù)的 Fourier 級數(shù),二、非周期函數(shù)的 Fourier 變換,一、周期函數(shù)的 Fourier 級數(shù),1. 簡諧波的基本概念,簡諧波,為基本周期；,為頻率。,一、周期函數(shù)的 Fourier 級數(shù),2. 正交函數(shù)系,函數(shù)系,2. 正交函數(shù)系,特點,由

3、 組合疊加可以生成周期為 T 的復(fù)雜波。,(1) 周期性,(2) 正交性,一、周期函數(shù)的 Fourier 級數(shù),一、周期函數(shù)的 Fourier 級數(shù),2. 正交函數(shù)系,?,能否：,區(qū)間 上滿足如下條件(稱為 Dirichlet 條件)：,則在 的連續(xù)點處有,3. Fourier 級數(shù)的三角形式,一、周期函數(shù)的 Fourier 級數(shù),在 的間斷處，上式左端為,,稱

4、之為基頻。,( Dirichlet 定理),定理,3. Fourier 級數(shù)的三角形式,其中,,(A),一、周期函數(shù)的 Fourier 級數(shù),4. Fourier 級數(shù)的物理含義,令,則 (A) 式變?yōu)?一、周期函數(shù)的 Fourier 級數(shù),這些簡諧波的(角)頻率分別為一個基頻 的倍數(shù)。,頻率成份，其頻率是以基頻 為間隔離散取值的?！?這是周期信號的一個非常重要的特點。,4. Fourier 級數(shù)的物理含義,一、周期

5、函數(shù)的 Fourier 級數(shù),這兩個指標(biāo)完全定量地刻畫了信號的頻率特性。,4. Fourier 級數(shù)的物理含義,所占有的份額；,沿時間軸移動的大小。,一、周期函數(shù)的 Fourier 級數(shù),5. Fourier 級數(shù)的指數(shù)形式,代入 (A) 式并整理得,根據(jù) Euler 公式,可得,一、周期函數(shù)的 Fourier 級數(shù),5. Fourier 級數(shù)的指數(shù)形式,推導(dǎo),則有,令,其中,,一、周期函數(shù)的 Fourier 級數(shù),(2) 計算系數(shù)

6、 時, 其中的積分可以在任意,一個長度為 T 的區(qū)間上進行。,(3) 采用周期延拓技術(shù)，可以將結(jié)論應(yīng)用到,僅僅定義在某個有限區(qū)間上的函數(shù)。,5. Fourier 級數(shù)的指數(shù)形式,一、周期函數(shù)的 Fourier 級數(shù),6. 離散頻譜與頻譜圖,得,即 的模與輻角正好是振幅和相位。,稱 為頻譜，記為,一、周期函數(shù)的 Fourier 級數(shù),6. 離散頻譜與頻譜圖,一、周期函數(shù)的 Fourier 級數(shù),(1) 當(dāng) n = 0

7、時，,解,(3) 的 Fourier 級數(shù)為,解,(4) 振幅譜為,相位譜為,(5) 頻譜圖如下圖所示。,解,借助 Fourier 級數(shù)展開，使得人們能夠完全了解一個,信號的頻率特性，從而認(rèn)清了一個信號的本質(zhì)，這種對,信號的分析手段也稱為頻譜分析(或者諧波分析)。,但是，F(xiàn)ourier 級數(shù)要求被展開的函數(shù)必須是周期函,數(shù)， 而在工程實際問題中， 大量遇到的是非周期函數(shù)，,那么，對一個非周期函數(shù)是否也能進行頻譜分析呢

8、?,二、非周期函數(shù)的傅立葉變換,二、非周期函數(shù)的傅立葉變換,(1) 非周期函數(shù)可以看成是一個周期為無窮大的“周期函數(shù)”。,1. 簡單分析,,當(dāng) T 越來越大時，取值間隔越來越??；,當(dāng) T 趨于無窮時，取值間隔趨向于零，,因此，一個非周期函數(shù)將包含所有的頻率成份。,其頻譜是以 為間隔離散取值的。,即頻譜將連續(xù)取值。,(2) 當(dāng) 時，頻率特性發(fā)生了什么變化？,二、非周期函數(shù)的傅

9、立葉變換,1. 簡單分析,(3) 當(dāng) 時，級數(shù)求和發(fā)生了什么變化？,二、非周期函數(shù)的傅立葉變換,1. 簡單分析,分析,分析,則,按照積分定義，在一定條件下，(C) 式可寫為,記,(3) 當(dāng) 時，級數(shù)求和發(fā)生了什么變化？,二、非周期函數(shù)的傅立葉變換,1. 簡單分析,二、非周期函數(shù)的傅立葉變換,2. Fourier 積分公式,(2) Fourier 逆變換(簡稱傅氏逆變換),二、非周期

10、函數(shù)的傅立葉變換,-1,3. Fourier 變換的定義,注 上述變換中的廣義積分為柯西主值。,二、非周期函數(shù)的傅立葉變換,4. Fourier 變換的物理意義,與 Fourier 級數(shù)的物理意義一樣，F(xiàn)ourier 變換同樣,刻畫了一個非周期函數(shù)的頻譜特性，不同的是，非周期,函數(shù)的頻譜是連續(xù)取值的。,一般為復(fù)值函數(shù)，故可表示為,反映的是 中各頻率分量的分布密度，它,(2) 振幅譜為,相位譜為,解,(3) 求 Fou

11、rier 逆變換，即可得到的 Fourier 積分表達式。,解,-1,一般地，有,特別地，有,注,解,相位譜為,,,,,歷史回顧—— Fourier級數(shù),附：,歷史回顧—— Fourier級數(shù),附：,1829 年，德國數(shù)學(xué)家 Dirichlet 終于對一類條件較“寬”的,函數(shù)給出了嚴(yán)格的證明。時年 24 歲。,1830年 5 月 16 日，F(xiàn)ourier 在巴黎去世。,歷史回顧—— Fourier級數(shù),附：,人物介紹 —— 狄利克雷,附