高等數(shù)學(xué)數(shù)列極限課件

1、,—— 一元微積分學(xué),大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（1）,第三講 數(shù)列的極限,授課教師：易學(xué)軍,,,歡迎觀看,第 二 章 極 限,本章學(xué)習(xí)要求： 了解數(shù)列極限、函數(shù)極限概念，知道運(yùn)用“ε－δ”和 “ε－X ” 語(yǔ)言描 述函數(shù)的極限。 理解極限與左右極限的關(guān)系。熟練掌握極限的四則運(yùn)算法則 以及運(yùn)用左右極限計(jì)算分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限。 理解無(wú)窮小量的定義。理解函數(shù)極限與無(wú)窮小量間的關(guān)系。 掌握無(wú)窮小量的比較，能熟練運(yùn)用

2、等價(jià)無(wú)窮小量計(jì)算相應(yīng)的 函數(shù)極限。了解無(wú)窮大量的概念及其與無(wú)窮小量的關(guān)系。 理解極限存在準(zhǔn)則。能較好運(yùn)用極限存在準(zhǔn)則和兩個(gè)重要極 限求相應(yīng)的函數(shù)極限。,第 二 章 極 限,第一節(jié) 數(shù)列的極限,一、數(shù)列及其簡(jiǎn)單性質(zhì),二、數(shù)列的極限,三、數(shù)列極限的性質(zhì),四、數(shù)列的收斂準(zhǔn)則,稱為一個(gè)數(shù)列, 記為{ xn }.,1. 定義,數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的一項(xiàng),xn = f (n) 稱為數(shù)列的通項(xiàng)或一般項(xiàng),一、數(shù)列及其簡(jiǎn)單性

3、質(zhì),數(shù)列也稱為序列,2. 數(shù)列的表示法,,,介紹幾個(gè)數(shù)列,,,所有的奇數(shù)項(xiàng),所有的偶數(shù)項(xiàng),,所有奇數(shù)項(xiàng),3. 數(shù)列的性質(zhì),,單調(diào)性,,有界性,(1) 數(shù)列的單調(diào)性,單調(diào)增加,不減少的,單調(diào)減少,不增加的,,統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列,,,,數(shù)列,(2) 數(shù)列的有界性,回想一下前面講過(guò)的函數(shù)的有界性的情形,,我學(xué)過(guò)嗎 ？,,,,,,,,,,數(shù)列的有界性的定義,如何定義數(shù)列無(wú)界？,有界的數(shù)列在數(shù)軸上和在直角坐標(biāo)系中的圖形會(huì)是什么樣子？,想想：

4、,從數(shù)軸上看, 有界數(shù)數(shù)列 { xn } 的全部點(diǎn),都落在某區(qū)間 (－M*, M* ) 中.,,觀察例1 中的幾個(gè)數(shù)列：,,,,,有些數(shù)列雖然無(wú)界, 但它或者是下方有 界的, 或者是上方有界的.,一個(gè)數(shù)列有界(有上界, 有下界), 則必有 無(wú)窮多個(gè)界(上界, 下界).,,,現(xiàn)在來(lái)討論如何定義數(shù)列的無(wú)界：,首先看有界性定義的關(guān)鍵所在,,,,,,,對(duì)所有的,證,分析,,二、數(shù)列的極限,0,0,1,極限描述的是變量的變化

5、趨勢(shì).,,,,,,,,x1,x3,x2n-1,x2n,x4,x2,??,x,0,??,??,?,?,?,(,(,(,),),),*,???,???,????,????,???,???,???,???,,,“ n 無(wú)限增大” 記為 n ? ?.,此時(shí)稱數(shù)列,當(dāng) n ? ? 時(shí)以零為,極限, 記為：,這就是該數(shù)列的變化趨勢(shì),量化表示：n ? ? 時(shí), xn ? a .,,預(yù)先任意給定一個(gè)正數(shù) ? > 0, 不論它的值多么小,,當(dāng)

6、 n 無(wú)限增大時(shí), 數(shù)列 { xn } 總會(huì)從某一項(xiàng)開始,,以后的所有項(xiàng),都落在 U(0, ? ) 中.,（在 U(0, ? ) 外面只有有限項(xiàng)）,,,,,一般地, 如果數(shù)列{xn} 當(dāng) n ? ? 時(shí),,列{xn} 當(dāng) n ? ? 時(shí)以 a 為極限, 記為,xn 可以無(wú)限地趨近某個(gè)常數(shù) a, 則稱數(shù),此時(shí), 也稱數(shù)列是收斂的.,0,0,1,若{ xn }當(dāng) n ? ? 時(shí)沒(méi)有極限, 則稱{ xn }發(fā)散.,若,此時(shí), 也稱數(shù)

7、列{ xn } 是收斂的.,極限描述的是變量的變化趨勢(shì),數(shù)列的項(xiàng)不一定取到它的極限值.,數(shù)列極限的定義：,,1.唯一性定理,若數(shù)列{ xn }收斂, 則其極限值必唯一.,想想, 如何證明它？,三、數(shù)列極限的性質(zhì),設(shè)數(shù)列{ xn }收斂, 但其極限不唯一, 不妨設(shè)有：,證,運(yùn)用反證法,任意性,常數(shù),由 ? 的任意性, 上式矛盾, 故 a = b .,唯一性定理的推論,,充分必要條件,子數(shù)列的概念,在數(shù)列 {xn}: x1 , x2 ,

8、 ? , xn , ? 中, 保持各項(xiàng)原來(lái)的先后次序不變, 自左往右任意選取無(wú)窮多項(xiàng)所構(gòu)成的新的數(shù)列, 稱為原數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列, 記為,唯一性定理的推論往往用來(lái)證明或判斷數(shù)列極限不存在．,2.有界性定理,若數(shù)列{ xn }收斂, 則{ xn }必有界.,證,即有,則,由數(shù)列有界的定義得：數(shù)列{ xn }收斂, 則必有界.,該定理的逆命題不真, 即有界數(shù)列不一定收斂. 例如, { (－1) n }.,,有界性定理的推

9、論：,即 無(wú)界數(shù)列的極限不存在 .,無(wú)界數(shù)列必發(fā)散.,發(fā)散的數(shù)列不一定都無(wú)界 . 例如, { (－1) n } .,,,收斂的數(shù)列必有界. 有界的數(shù)列不一定收斂. 無(wú)界的數(shù)列必發(fā)散 . 發(fā)散的數(shù)列不一定無(wú)界.,,,3.保號(hào)性定理,證,由絕對(duì)值不等式的知識(shí), 立即得,a < 0 的情形類似可證, 由學(xué)生自己完成 .,保號(hào)性定理的推論1：,,這里為嚴(yán)格不等號(hào)時(shí),,此處仍是