2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題與解答(a卷)

1、20172017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷一試卷一試一、填空題1.設(shè)是定義在上的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)有.又當(dāng))(xfRx1)4()3(?????xfxf時(shí)，，則的值為__________.70??x)9(log)(2xxf??)100(?f2.若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是__________.yx1cos22??yxyxcos?3.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的方程為，為的上焦點(diǎn)，為xOyC1109:22??yxFCA的右頂點(diǎn)，是上

2、位于第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則四邊形的面積的最大值為CPCOAPF__________.4.若一個(gè)三位數(shù)中任意兩個(gè)相鄰數(shù)碼的差不超過1，則稱其為“平穩(wěn)數(shù)”.平穩(wěn)數(shù)的個(gè)數(shù)是5.正三棱錐中，，，過的平面將其體積平分，則棱與ABCP?1?AB2?APAB?PC平面所成角的余弦值為__________.?6.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)集.在中隨機(jī)取出三個(gè)點(diǎn)，則xOy??101)(???yxyxKK這三點(diǎn)中存在兩點(diǎn)之間距離為的概率為__________.5

3、7.在中，是邊的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn).若，的面積為ABC?MBCNBM3???AABC?，則的最小值為__________.3ANAM?8.設(shè)兩個(gè)嚴(yán)格遞增的正整數(shù)數(shù)列滿足：，對(duì)任意正整數(shù)，有????nnba20171010??ban，，則的所有可能值為__________.nnnaaa????12nnbb21??11ba?二、解答題9.設(shè)為實(shí)數(shù)，不等式對(duì)所有成立.證明：.mk12???mkxx??bax?22??ab.求滿足的正整數(shù)的個(gè)數(shù)

4、.?211??????????nnanananaannnnn20173??rarr三.將方格紙中每個(gè)小方格染三種顏色之一，使得每種顏色的小方格的個(gè)數(shù)相等.若3333?相鄰連個(gè)小方格的顏色不同，則稱它們的公共邊為“分隔邊”.試求分隔邊條數(shù)的最小值.四.設(shè)均是大于1的整數(shù)，，是個(gè)不超過的互不相同的正整數(shù)，nmnm?naaa21?nm且互素.證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)，均存在一個(gè)，使得naaa21?x)1(nii??，這里表示實(shí)數(shù)到與它最近的整數(shù)的距離