數(shù)學(xué)概念的定義形式

1、數(shù)學(xué)概念的定義方式一給概念下定義的意義和定義的結(jié)構(gòu)前面提到過(guò)，概念是反映客觀事物思想，是客觀事物在人的頭腦中的抽象概括，是看不見(jiàn)摸不著的，要用詞語(yǔ)表達(dá)出來(lái)，這就是給概念下定義。而明確概念就是要明確概念的內(nèi)涵和外延。所以，概念定義就是揭示概念的內(nèi)涵或外延的邏輯方法。揭示概念內(nèi)涵的定義叫內(nèi)涵定義，揭示概念外延的定義叫做外延定義。在中學(xué)里，大多數(shù)概念的定義是內(nèi)涵定義。任何定義都由被定義項(xiàng)、定義項(xiàng)和定義聯(lián)項(xiàng)三部分組成。被定義項(xiàng)是需要明確的概念，

2、定義項(xiàng)是用來(lái)明確被定義項(xiàng)的概念，定義聯(lián)項(xiàng)則是用來(lái)聯(lián)接被定義項(xiàng)和定義項(xiàng)的。例如，在定義“三邊相等的三角形叫做等邊三角形”中，“等邊三角形”是被定義項(xiàng)，“三邊相等的三角形”是定義項(xiàng)，“叫做”是定義聯(lián)項(xiàng)。二、常見(jiàn)定義方法。1、原始概念。數(shù)學(xué)定義要求簡(jiǎn)明，不能含糊不清。如果定義含糊不清，也就不能明確概念，失去了定義的作用。例如，“點(diǎn)是沒(méi)有部分的那種東西”就是含糊不清的定義。按這個(gè)要求，給某概念下定義時(shí)，定義項(xiàng)選用的必須是在此之前已明確定義過(guò)的概

3、念，否則概念就會(huì)模糊不清。這樣順次上溯，終必出現(xiàn)不能用前面已被定義過(guò)的概念來(lái)下定義的概念，這樣的概念稱(chēng)為原始概念。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，對(duì)原始概念的解釋并非是下定義，這是要明確的。比如：代數(shù)中的集合、元素、對(duì)應(yīng)等，幾何中的點(diǎn)、線(xiàn)、面等2、屬加種差定義法。這種定義法是中學(xué)數(shù)學(xué)中最常用的定義方法，該法即按公式：“鄰近的屬種差=被定義概念”下定義，其中，種差是指被定義概念與同一屬概念之下其他種概念之間的差別，即被定義概念具有而它的屬概念的其他種概念不

4、具有的屬性。例如，平行四邊形的概念鄰近的屬是四邊形，平行四邊形區(qū)別于四邊形的其他種概念的屬性即種差是“一組對(duì)邊平行并且相等”，這樣即可給平行四邊形下定義為“一組對(duì)邊平行并且相等的四邊形叫做平行四邊形”。利用鄰近的屬加種差定義方法給概念下定義，一般情況下，應(yīng)找出被定義概念最鄰近的屬，這樣可使種差簡(jiǎn)單一些。像下列兩個(gè)定義：等邊的矩形叫做正方形；等邊且等角的四邊形叫做正方形。前者的種差要比后者的種差簡(jiǎn)單。鄰近的屬加種差的定義方法有兩種特殊形式

5、：（1）發(fā)生式定義方法。它是以被定義概念所反映的對(duì)象產(chǎn)生或形成的過(guò)程作為種差來(lái)下定義的。例如，“在平面內(nèi)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)與一個(gè)定點(diǎn)等距離運(yùn)動(dòng)所成的軌跡叫做圓”即是發(fā)生式定義。在其中，種差是描述圓的發(fā)生過(guò)程。（2）關(guān)系定義法。它是以被定義概念所反映的對(duì)象與另一對(duì)象之間關(guān)系或它與另一對(duì)象對(duì)第三者的關(guān)系作為種差的一種定義方式。例如，若ab=N，則logaN=b(a＞0，a≠1)。即是一個(gè)關(guān)系定義概念。3、揭示外延的定義方法。數(shù)學(xué)中有些概念，不易揭示

6、其內(nèi)涵，可直接指出概念的外延作為它的概念的定義。常見(jiàn)的有以下種類(lèi)：（1）逆式定義法。這是一種給出概念外延的定義法，又叫歸納定義法例如，整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)；正弦、余弦、正切和余切函數(shù)叫做三角函數(shù)；橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)叫做圓錐曲線(xiàn)；邏輯的和、非、積運(yùn)算叫做邏輯運(yùn)算等等，都是這種定義法（2）約定式定義法。揭示外延的定義方法還有一種特殊形式，即外延的揭示采用約定的方法，因而也稱(chēng)約定式定義方法。例如，a0=1(a≠0)，0！=1，就是用約定式

7、方法定義的概念。數(shù)學(xué)概念的定義什么叫給概念下定義，就是用已知的概念來(lái)認(rèn)識(shí)未知的概念，使未知的概念轉(zhuǎn)化為已知的概念，叫做給概念下定義概念的定義都是由已下定義的概念(已知概念)與被下定義的概念(未知概念)這兩部分組成的例如，有理數(shù)與無(wú)理數(shù)(下定義的概念)，統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù)(被下定義的概念)；平行四邊形(被下定義的概念)是兩組對(duì)邊分別平行的四邊形(下定義的概念)其定義方法有下列幾種1、直覺(jué)定義法直覺(jué)定義亦稱(chēng)原始定義，憑直覺(jué)產(chǎn)生的原始概念，這些概念不

8、能用其它概念來(lái)解釋?zhuān)几拍畹囊饬x只能借助于其它術(shù)語(yǔ)和它們各自的特征給予形象的描述如幾何中的點(diǎn)、直線(xiàn)、平面、集合的元素、對(duì)應(yīng)等原始概念是人們?cè)陂L(zhǎng)期的實(shí)踐活動(dòng)中，對(duì)一類(lèi)事物概括、抽象的結(jié)果，是原創(chuàng)性抽象思維活動(dòng)的產(chǎn)物直覺(jué)定義為數(shù)不多2、“種類(lèi)差”定義法種類(lèi)差”定義法：被定義的概念=最鄰近的種概念(種)類(lèi)差。這是下定義常用的內(nèi)涵法。“最鄰近的種概念”就是被定義概念的最鄰近的種概念“類(lèi)差”就是被定義概念在它的最鄰近的種概念里區(qū)別于其它類(lèi)概念的

9、那些本質(zhì)屬性。例如以“平行四邊形”為最鄰近的種概念的類(lèi)概念有“矩形”、“菱形”“菱形”的“鄰邊相等”是區(qū)別于“矩形”的本質(zhì)屬性“鄰邊相等”就是“菱形”的類(lèi)差。我們先看幾個(gè)用“種類(lèi)差”定義的例子:等腰梯形是兩腰相等的梯形直角梯形是有一個(gè)底角是直角的梯形等腰三角形是兩邊相等或兩角相等的三角形邏輯上還可以通過(guò)總結(jié)外延給出定義例如：“有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù)”等由上述幾例可看出用“種加類(lèi)差”的方式給概念下定義首先要找出被定義概念的最鄰近的種概念

10、然后把被定義概念所反映的對(duì)象同種概念中的其它類(lèi)概念所反映的對(duì)象進(jìn)行比較找出“類(lèi)差”最后把類(lèi)差加最鄰近的種概念組成下定義概念而給出定義。種加類(lèi)差定義法在形式邏輯中也稱(chēng)為實(shí)質(zhì)定義屬于演繹型定義其順序是從一般到特殊。這種定義既揭示了概念所反映對(duì)象的特殊性又指出了一般性是行之有效的定義方法。由于概念本身的類(lèi)別特點(diǎn)及類(lèi)差性質(zhì)的不同在敘述形式上也有差異。這種定義方法，能用已知的種概念的內(nèi)涵來(lái)揭示被定義概念的內(nèi)涵。揭示了概念的內(nèi)涵，既準(zhǔn)確又明了，有助

11、于建立概念之間的聯(lián)系，使知識(shí)系統(tǒng)化，因此，在中學(xué)數(shù)學(xué)概念的定義中應(yīng)用較多3、發(fā)生式定義法發(fā)生定義法(也稱(chēng)構(gòu)造性定義法):通過(guò)被定義概念所反映對(duì)象發(fā)生過(guò)程，或形成的特征的描述來(lái)揭示被定義概念的本質(zhì)屬性的定義方法稱(chēng)發(fā)生定義法。這種定義法是“種類(lèi)差”定義的一種特殊形式。定義中的類(lèi)差是描述被定義概念的發(fā)生過(guò)程或形成的特征而不是揭示被定義概念的特有的本質(zhì)屬性。例如，平面(空間)上與定點(diǎn)等距離的點(diǎn)的軌跡叫做圓(球)此外，中學(xué)數(shù)學(xué)中對(duì)圓柱、圓錐、圓臺(tái)