高等代數(shù)習題解答第一章

1、1高等代數(shù)習題解答高等代數(shù)習題解答第一章第一章多項式多項式補充題補充題1當當取何值時，多項式取何值時，多項式與abc()5fxx??2()(2)(1)gxaxbx????相等？相等？2(2)cxx???提示：提示：比較系數(shù)比較系數(shù)得.6136555abc?????補充題補充題2設設，，證明：，證明：()()()[]fxgxhxx?A2232()()()fxxgxxhx??()()()0fxgxhx???證明證明假設假設不成立若不成立若，

2、則，則為偶數(shù)，又為偶數(shù)，又()()()0fxgxhx???()0fx?2(())fx?等于等于0或次數(shù)為偶數(shù)，由于或次數(shù)為偶數(shù)，由于，首項系數(shù)（如果，首項系數(shù)（如果22()()gxhx22()()[]gxhxx?A有的話）為正數(shù)，從而有的話）為正數(shù)，從而等于等于0或次數(shù)為奇數(shù)，矛盾若或次數(shù)為奇數(shù)，矛盾若或232()()xgxxhx?()0gx?則為奇數(shù)，而為奇數(shù)，而或為偶數(shù)，矛盾綜上為偶數(shù)，矛盾綜上()0hx?232(()())xgxx

3、hx??2()0fx?2(())fx?所證，所證，()()()0fxgxhx???1用用g(x)除f(x)，求商，求商q(x)與余式與余式r(x)：1）f(x)=x33x2x1，g(x)=3x22x1；2）f(x)=x42x5，g(x)=x2x21）解法一）解法一待定系數(shù)法待定系數(shù)法由于由于f(x)是首項系數(shù)為是首項系數(shù)為1的3次多項式，而次多項式，而g(x)是首項系數(shù)為是首項系數(shù)為3的2次多項式，次多項式，所以商所以商q(x)必是首項

4、系數(shù)為必是首項系數(shù)為的1次多項式，而余式的次數(shù)小于次多項式，而余式的次數(shù)小于2于是可設于是可設13q(x)=xar(x)=bxc13根據(jù)根據(jù)f(x)=q(x)g(x)r(x)，即，即x33x2x1=(xa)(3x22x1)bxc13右邊展開，合并同類項，再比較兩邊同次冪的系數(shù)，得右邊展開，合并同類項，再比較兩邊同次冪的系數(shù)，得2333a???1123ab?????1ac???解得解得，故得，故得79a??269b??29c??17()3

5、9qxx??262().99rxx???3或01mpq??????212.qpm??????3求求除的商的商與余式與余式：()gx()fx()qx()rx1）53()258()3fxxxxgxx?????2）32()()12.fxxxxgxxi??????1）解法一）解法一用帶余除法帶余除法（略）（略）解法二解法二用綜合除法綜合除法寫出按降冪排列的系數(shù)，缺項的系數(shù)為寫出按降冪排列的系數(shù)，缺項的系數(shù)為0：32050806183911732

6、7261339109327所以所以432()261339109()327.qxxxxxrx???????2）解法一）解法一用帶余除法（略）用帶余除法（略）解法二解法二用綜合除法寫出按降冪排列的系數(shù)，缺項的系數(shù)為用綜合除法寫出按降冪排列的系數(shù)，缺項的系數(shù)為0：()fx12i111012i42i98i12i52i98i所以所以2()2(52)()98.qxxixirxi???????4把把表成表成的方冪和，即表成的方冪和，即表成()fx0x

7、x?201020()()ccxxcxx??????的形式：的形式：1）50()1fxxx??2）420()232fxxxx?????3）4320()2(1)37.fxxixixxixi?????????注設表成表成的形式，則的形式，則就是就是被除()fx201020()()ccxxcxx??????0c()fx0xx?所得的余數(shù)，所得的余數(shù)，就是就是被除所得的商式除所得的商式再被再被1c()fx0xx?212030()()ccxxcxx