數(shù)學(xué)物理方程第一章答案

1、第一章第一章1方程的導(dǎo)出。定解條件方程的導(dǎo)出。定解條件1細(xì)桿（或彈簧）受某種外界原因而產(chǎn)生縱向振動(dòng)，以u(píng)(xt)表示靜止時(shí)在x點(diǎn)處的點(diǎn)在時(shí)刻t離開原來(lái)位置的偏移，假設(shè)振動(dòng)過(guò)程發(fā)生的張力服從虎克定律，試證明滿足方程)(txu???????????????????????xuExtuxt?其中為桿的密度，為楊氏模量。?E證：在桿上任取一段，其中兩端于靜止時(shí)的坐標(biāo)分別為與x?，F(xiàn)在計(jì)算這段桿在時(shí)刻的相對(duì)伸長(zhǎng)。在時(shí)刻這段桿?xx?tt兩端的坐標(biāo)分

2、別為：)()(txxuxxtxux??????其相對(duì)伸長(zhǎng)等于)()]([)]([txxuxxtxuxtxxuxxx??????????????令，取極限得在點(diǎn)的相對(duì)伸長(zhǎng)為。由虎克0??xxxu)(tx定律，張力等于)(txT)()()(txuxEtxTx?其中是在點(diǎn)的楊氏模量。)(xEx設(shè)桿的橫截面面積為則作用在桿段兩端)(xS)(xxx??的力分別為xuxSxE)()(xuxxSxxEtx)()()(????).(txx??于是得運(yùn)動(dòng)

3、方程ttuxxsx???)()(?xESutx?)(xxxxxESuxx|)(|)(?????利用微分中值定理，消去，再令得x?0??xttuxsx)()(?x???xESu()若常量，則得?)(xs=22)(tux???))((xuxEx????即得所證。2在桿縱向振動(dòng)時(shí)，假設(shè)(1)端點(diǎn)固定，(2)端點(diǎn)自由，(3)端點(diǎn)固定在彈性支承上，試分別導(dǎo)出這三種情況下所對(duì)應(yīng)的邊界條件。解：(1)桿的兩端被固定在兩點(diǎn)則相應(yīng)的邊界條lxx??0件為

4、.0)(0)0(??tlutu(2)若為自由端，則桿在的張力lx?lx?|等于零，因此相應(yīng)的邊界條件為|xuxEtlT???)()(lx?xu??=0lx?同理，若為自由端，則相應(yīng)的邊界條件為∣0?xxu??00??x(3)若端固定在彈性支承上，而彈性支承固定于某lx?點(diǎn)，且該點(diǎn)離開原來(lái)位置的偏移由函數(shù)給出，則在端)(tvlx?支承的伸長(zhǎng)為。由虎克定律有)()(tvtlu?∣xuE??)]()([tvtluklx????其中為支承的剛度

5、系數(shù)。由此得邊界條件k∣其中)(uxu????)(tflx??Ek??特別地，若支承固定于一定點(diǎn)上，則得邊界條件0)(?tv∣。)(uxu????0??lx同理，若端固定在彈性支承上，則得邊界條件0?x∣xuE??)]()0([0tvtukx???即∣)(uxu????).(0tfx??3.試證：圓錐形樞軸的縱振動(dòng)方程為2222)1(])1[(tuhxxuhxxE??????????其中為圓錐的高(如圖1)h證：如圖，不妨設(shè)樞軸底面的半

6、徑為1，則x點(diǎn)處截面的半徑為：l故上所受摩阻力為tub?????xxx??????tuxxsxpb??????運(yùn)動(dòng)方程為:????????tuxxsxbxxuEStuEStuxxsxxx?????????????????????????22利用微分中值定理，消去再令得x?0??x????????.22tuxsxbxuESxtuxsx??????????????????若常數(shù)，則得?)(xs????tuxbxuExtux?????????

7、?????????22若????則得方程令也是常量是常量.2???EaExEx???.22222xuatubtu????????3混合問(wèn)題的分離變量法混合問(wèn)題的分離變量法1.用分離變量法求下列問(wèn)題的解：(1)?????????????????????????0)()0()0()1(3sin022222tlutulxxxtulxuxuatuott?解：邊界條件齊次的且是第一類的，令)()()(tTxXtxu?得固有函數(shù)，且xlnxXn?s

8、in)(?，tlanBtlanAtTnnn??sincos)(??)21(??n于是?????1sin)sincos()(nnnxlntlanBtlanAtxu???今由始值確定常數(shù)及，由始值得nAnB????1sin3sinnnxlnAlx???????1sin)(nnxlnBlanxlx??所以當(dāng)13?A0?nA3?n???lnxdxlnxlxanB0sin)(2????????????????????xlnxnlxlnnlxlnx