7-6-4 計(jì)數(shù)之遞推法.教師版

1、764.計(jì)數(shù)之遞推法.題庫教師版page1of9764.764.計(jì)數(shù)之遞推法計(jì)數(shù)之遞推法教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)前面在講加法原理、乘法原理、排列組合時(shí)已經(jīng)穿插講解了計(jì)數(shù)中的一些常用的方法，比如枚舉法、樹形圖法、標(biāo)數(shù)法、捆綁法、排除法、插板法等等，這里再集中學(xué)習(xí)一下計(jì)數(shù)中其他常見的方法，主要有歸納法、整體法、對(duì)應(yīng)法、遞推法對(duì)這些計(jì)數(shù)方法與技巧要做到靈活運(yùn)用例題精講例題精講對(duì)于某些難以發(fā)現(xiàn)其一般情形的計(jì)數(shù)問題，可以找出其相鄰數(shù)之間的遞歸關(guān)系，有了這

2、一遞歸關(guān)系就可以利用前面的數(shù)求出后面未知的數(shù)，這種方法稱為遞推法【例1】每對(duì)小兔子在出生后一個(gè)月就長(zhǎng)成大兔子，而每對(duì)大兔子每個(gè)月能生出一對(duì)小兔子來如果一個(gè)人每對(duì)小兔子在出生后一個(gè)月就長(zhǎng)成大兔子，而每對(duì)大兔子每個(gè)月能生出一對(duì)小兔子來如果一個(gè)人在一月份買了一對(duì)小兔子，那么十二月份的時(shí)候他共有多少對(duì)兔子？在一月份買了一對(duì)小兔子，那么十二月份的時(shí)候他共有多少對(duì)兔子？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之遞推法【難度】3星【題型】解答【【解析解析解析】】第一個(gè)月，有1對(duì)

3、小兔子；第二個(gè)月，長(zhǎng)成大兔子，所以還是1對(duì)；第三個(gè)月，大兔子生下一對(duì)小兔子，所以共有2對(duì)；第四個(gè)月，剛生下的小兔子長(zhǎng)成大兔子，而原來的大兔子又生下一對(duì)小兔子，共有3對(duì)；第五個(gè)月，兩對(duì)大兔子生下2對(duì)小兔子，共有5對(duì)；……這個(gè)特點(diǎn)的說明每月的大兔子數(shù)為上月的兔子數(shù)，每月的小兔子數(shù)為上月的大兔子數(shù)，即上上月的兔子數(shù)，所以每月的兔子數(shù)為上月的兔子數(shù)與上上月的兔子數(shù)相加依次類推可以列出下表：經(jīng)過月數(shù)：123456789101112兔子對(duì)數(shù)：112

4、3581321345589—144，所以十二月份的時(shí)候總共有144對(duì)兔子【答案】144【例2】樹木生長(zhǎng)的過程中，新生的枝條往往需要一段樹木生長(zhǎng)的過程中，新生的枝條往往需要一段“休息休息”時(shí)間供自身生長(zhǎng)，而后才能萌發(fā)新枝一棵樹時(shí)間供自身生長(zhǎng)，而后才能萌發(fā)新枝一棵樹苗在一年后長(zhǎng)出一條新枝，第二年新枝苗在一年后長(zhǎng)出一條新枝，第二年新枝“休息休息”，老枝依舊萌發(fā)新枝；此后，老枝與，老枝依舊萌發(fā)新枝；此后，老枝與“休息休息”過一年的過一年的枝同時(shí)

5、萌發(fā)，當(dāng)年生的新枝則依次枝同時(shí)萌發(fā)，當(dāng)年生的新枝則依次“休息休息”這在生物學(xué)上稱為這在生物學(xué)上稱為“魯?shù)戮S格定律魯?shù)戮S格定律”那么十年后這棵樹那么十年后這棵樹上有多少條樹枝？上有多少條樹枝？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之遞推法【難度】3星【題型】解答【【解析解析解析】】一株樹木各個(gè)年份的枝椏數(shù)，構(gòu)成斐波那契數(shù)列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……所以十年后樹上有89條樹枝【答案】89【例3】一樓梯共一樓梯共10級(jí)，規(guī)定每步只能跨上一

6、級(jí)或兩級(jí)，要登上第級(jí)，規(guī)定每步只能跨上一級(jí)或兩級(jí)，要登上第10級(jí)，共有多少種不同走法？級(jí)，共有多少種不同走法？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之遞推法【難度】4星【題型】解答764.計(jì)數(shù)之遞推法.題庫教師版page3of9【答案】89【例5】用的小長(zhǎng)方形覆蓋的小長(zhǎng)方形覆蓋的方格網(wǎng)，共有多少種不同的蓋法？的方格網(wǎng)，共有多少種不同的蓋法？13?38?【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之遞推法【難度】5星【題型】解答【解析】如果用的長(zhǎng)方形蓋的長(zhǎng)方形，設(shè)種數(shù)為則，對(duì)于，左邊可能13?3

7、n?na11a?21a?32a?4n?豎放1個(gè)的，也可能橫放3個(gè)的，前者有種，后者有種，所以依照13?13?1na3na13nnnaaa??這條遞推公式列表：31?32?33?34?35?36?37?38?112346913所以用的小長(zhǎng)方形形覆蓋的方格網(wǎng)，共有13種不同的蓋法13?38?【答案】13【例6】有一堆火柴共有一堆火柴共12根，如果規(guī)定每次取根，如果規(guī)定每次取1～3根，那么取完這堆火柴共有多少種不同取法？根，那么取完這堆火柴共

8、有多少種不同取法？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之遞推法【難度】4星【題型】解答【解析】取1根火柴有1種方法，取2根火柴有2種方法，取3根火柴有4種取法，以后取任意根火柴的種數(shù)等于取到前三根火柴所有情況之和，以此類推，參照上題列表如下：1根2根3根4根5根6根7根8根9根10根11根12根124713244481149274504927取完這堆火柴一共有927種方法【答案】927【鞏固鞏固】一堆蘋果共有一堆蘋果共有8個(gè)，如果規(guī)定每次取個(gè)，如果規(guī)定每次取1

9、～3個(gè)，那么取完這堆蘋果共有多少種不同取法？個(gè)，那么取完這堆蘋果共有多少種不同取法？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之遞推法【難度】4星【題型】解答【解析】取1個(gè)蘋果有1種方法，取2個(gè)蘋果有2種方法，取3個(gè)蘋果有4種取法，以后取任意個(gè)蘋果的種數(shù)等于取到前三個(gè)蘋果所有情況之和，以此類推，參照上題列表如下：1個(gè)2個(gè)3個(gè)4個(gè)5個(gè)6個(gè)7個(gè)8個(gè)124713244481取完這堆蘋果一共有81種方法【答案】81【例7】有10枚棋子，每次拿出枚棋子，每次拿出2枚或枚或3枚

10、，要想將枚，要想將10枚棋子全部拿完，共有多少種不同的拿法？枚棋子全部拿完，共有多少種不同的拿法？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之遞推法【難度】4星【題型】解答【【解析解析解析】】本題可以采用遞推法，也可以進(jìn)行分類討論，當(dāng)然也可以直接進(jìn)行枚舉(法1)遞推法假設(shè)有枚棋子，每次拿出2枚或3枚，將枚棋子全部拿完的拿法總數(shù)為種nnna則，，21a?31a?41a?由于每次拿出2枚或3枚，所以()32nnnaaa????5n?所以，；；；；；5232aaa???6