二階線性遞推數(shù)列的通項公式的求法(1)

1、二階線性遞推數(shù)列的通項公式的求法課程背景：二階線性遞推數(shù)列的通項公式的求法是高考中數(shù)列的一個高頻考點，由于其遞推數(shù)列的特殊性和復雜性，很多學生感到無從下手，是學生高考中較大的一個失分點，其實本題來源于課本習題，本課就這個問題以課本習題為載體來深入的探討和研究一下二階線性遞推數(shù)列的通項公式的求法課程內(nèi)容：真題再現(xiàn)：真題再現(xiàn)：1.（2015廣東文19）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，，，??nannSn?N11a?232a?354a?且當時，2n…

2、211458nnnnSSSS??????（1）求的值；4a（2）求證：為等比數(shù)列；112nnaa????????（3）求數(shù)列的通項公式??na2.在數(shù)列中，，（），求數(shù)列的通項公式??na11a?21a?11nnnaaa????2n???na問題呈現(xiàn)：問題呈現(xiàn)：第一題中的第三問是難點，當時，，易得2n…211458nnnnSSSS??????，即，實際上就是已知，求21114()4()()nnnnnnSSSSSS?????????211

3、4nnnaaa????2114nnnaaa????的通項公式。第2題更是典型的已知（），??na11nnnaaa????2n?求數(shù)列的通項公式??na這兩題的共同特點是：已知數(shù)列求的通項公式，即1221(0)nnnaaabapaqanNpq??????????na二階線性遞推數(shù)列的通項公式的求法。這是學生的一個難點，同時也是高考重點考查的知識，很多學生感到很繁瑣，無從下手。實質(zhì)，此類題型來源于我們的課本習題課本例題呈現(xiàn)：課本例題呈現(xiàn)：例

4、13已知數(shù)列，（），求數(shù)列的通項公式。（人教版高中數(shù)學必??na21213225??????nnnaaaaa3n?修5第二章數(shù)列復習參考題B組第6題）解法1：（歸納猜想）由已知可得：猜想11a?234521944145aaaa????(用數(shù)學歸納法證明略)111[7313(1)]()4nnnanN????????解法2：（構(gòu)造法）將變形，2132????nnnaaa]23)[2(3)2(21211?????????????nnnnnna

5、aaaaa????若即或者3則是一個等比數(shù)列公比為2.時，是一個23?????1?????1nnaa????1???1nnaa??首項為7公比為3的數(shù)列①1173nnnaa?????時，是一個首項為13公比為的等比數(shù)列3??13nnaa??1?②11313(1)nnnaa???????由①②兩式消去得：1na?111[7313(1)]()4nnnanN????????結(jié)論運用結(jié)論運用對于文中所涉及的第一小題（2015廣東文19）的第三小

6、問我們便可以運用此法解答.題目中已經(jīng)求出遞推方程，所以其特征方程為，解得方程只有兩個相等的實根即：，所以2114nnnaaa????214xx??12????，可得：121()()2nnacnc??11a??232a?122121()121(2)()12cccc??????????10c?22c??12nnna??第（2）小題的遞推公式（），其特征方程為.解得.可11nnnaaa????2n?21xx??1152x??2152x??設(shè)1

7、1121515()()22nnnacc??????.，可得：解得11a??21a?121211515122cccc???????????15125c??25125c??代入可得na11515[()()]225nnna????由此可見遇到此類求通項公式的題用特征根方程通過待定系數(shù)法解決此類問題是很簡單的.回頭梳理整個通項公式的探究過程我最大的感觸是不要輕易放過教材中的任何一道題目.教材是專家經(jīng)驗的積累、智慧的結(jié)晶，所以每道例題、習題都有其