排列組合的常見題型及其解法

1、排列組合的常見題型及其解法排列組合的常見題型及其解法一.特殊元素（位置）用優(yōu)先法把有限制條件的元素（位置）稱為特殊元素（位置），對于這類問題一般采取特殊元素（位置）優(yōu)先安排的方法。例1、6人站成一橫排，其中甲不站左端也不站右端，有多少種不同站法？分析：解有限制條件的元素（位置）這類問題常采取特殊元素（位置）優(yōu)先安排的方法。解法1：（元素分析法）因為甲不能站左右兩端，故第一步先讓甲排在左右兩端之間的任一位置上，有種站法；第二步再讓其余的5

2、人站在其他5個位置上，有種站法，故站法共有：＝480（種）解法2：（位置分析法）因為左右兩端不站甲，故第一步先從甲以外的5個人中任選兩人站在左右兩端，有種；第二步再讓剩余的4個人（含甲）站在中間4個位置，有種，故站法共有：（種）例2、某臺小型晚會由6個節(jié)目組成，演出順序有如下要求:節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位。該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有多少種？24例3、某單位7位員工在10月1日至10月7

3、日值班，每天一人，若7位員工中的甲乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案有多少種？1008二.相鄰問題用捆綁法對于要求某幾個元素必須排在一起的問題，可用“捆綁法”：即將這幾個元素看作一個整體，視為一個元素，與其他元素進行排列，然后相鄰元素內(nèi)部再進行排列。例4、5個男生和3個女生排成一排，3個女生必須排在一起，有多少種不同排法？解：把3個女生視為一個元素，與5個男生進行排列，共有種，然后女生內(nèi)部再進行排

4、列，有種，所以排法共有：（種）。三.合并元素法例5、4名大學(xué)生到3工廠實習(xí)，每個工廠去至少一人，則不同的分配方案有多少種？2343CA四.相離問題用插空法元素相離（即不相鄰）問題，可以先將其他元素排好，然后再將不相鄰的元素插入已排好的元素位置之間和兩端的空中。例6、7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相鄰有多少種排法？解：先將其余4人排成一排，有種，再往4人之間及兩端的5個空位中讓甲、乙、丙插入，有種，所以排法共有：（種）五.定序問題用除

5、法（縮倍法）對于在排列中，當某些元素次序一定時，可用此法。解題方法是：先將n個元素進行全排列有種，個元素的全排列有種，由于要求m個元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到調(diào)序的作用，即若n個元素排成一列，其中m個元素次序一定，則有種排列方法。例7、由數(shù)字0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的六位數(shù)有多少個？解：不考慮限制條件，組成的六位數(shù)有種，其中個位與十位上的數(shù)字一定，所以所求的六

6、位數(shù)有：（個）例8、7人排隊，A必須在B的后面，可以不相鄰，那么不同的排法有多少種？例8、7人排隊其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法解:(倍縮法)對于某幾個元素順序一定的排列問題可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列然后用總排列數(shù)除以這幾個元素之間的全排列數(shù)則共有不同排法種數(shù)是：7373AA(空位法)設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有種方法，其余的三個位置甲乙丙共有1種坐法，則47A共有種方法。47A思考:可以先讓甲乙丙就

7、坐嗎例9、古都西安的名勝古跡“兵馬俑”的管理者，為了既方便游人與“兵馬俑”拍照留念，又防止毀壞文物特意作了三尊以假亂真的兵馬俑，固定在一起排成一排供人留念?，F(xiàn)在一個4人旅游團來到這里并且想與兵馬俑合影留念，請問當這4人與三尊兵馬俑排成一排留影時，有多少種不同的站法？假設(shè)每兩尊之間有足夠的空隙站4人。840練習(xí)題：110個相同的球裝5個盒中每盒至少一有多少裝法？49C2.求這個方程組的自然數(shù)解的組數(shù)100xyzw????3103C

8、十二.環(huán)排問題線排策略例20、8人圍桌而坐共有多少種坐法解：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人并從此位置把圓形展成直線其余44A7人共有（81）！種排法即！7HFDCAABCDEABEGHGFex：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈120十三.實際操作窮舉法例21、設(shè)有編號12345的五個球和編號12345的五個盒子現(xiàn)將5個球投入這五個盒子內(nèi)要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同有

9、多少投法解：從5個球中取出2個與盒子對號有種還剩下3球3盒序號不能對應(yīng)，利用實際操作法，如果剩下345號球25C345號盒3號球裝4號盒時，則45號球有只有1種裝法，同理3號球裝5號盒時45號球有也只有1種裝法由分步計數(shù)原理有種252C5343號盒4號盒5號盒練習(xí)題：1.同一寢室4人每人寫一張賀年卡集中起來然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？(9)2.給圖中區(qū)域涂色要求相鄰區(qū)域不同色現(xiàn)有4種可選顏色則不同的

10、著色方法有72種54321十四.住店法策略解決“允許重復(fù)排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.例22、七名學(xué)生爭奪五項冠軍，每項冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數(shù)有.分析：因同一學(xué)生可以同時奪得n項冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，將七名學(xué)生看作7家“店”，五項冠軍看作5名“客”，每個“客”有7種住宿法，由乘法原理得7種.5一般地n個不同元