第六節(jié) 函數(shù)最值及其 在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

1、1,第六節(jié) 函數(shù)最值及其 在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用,一. 閉區(qū)間上函數(shù)的最值,二. 實(shí)際問(wèn)題的最值,三. 函數(shù)最值在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用,2,教學(xué)目標(biāo),1. 理解函數(shù)的極值與最值之間的聯(lián)系與區(qū)別.,2. 能用函數(shù)的極值理論求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值.,3. 掌握實(shí)際問(wèn)題, 特別是經(jīng)濟(jì)中的實(shí)際問(wèn)題的最值.,3,在許多經(jīng)濟(jì)理論與實(shí)際實(shí)際應(yīng)用中, 常常遇到這樣一類問(wèn)題: 在一定條件下, 怎樣使: “產(chǎn)品成本最低”, “產(chǎn)品用料最

2、省”,“效率最高”等問(wèn)題. 這類問(wèn)題在數(shù)學(xué)上有時(shí)可歸納為求某一函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題.,一. 閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)?(x)的最值與極值是兩個(gè)不同的概念, 最值是對(duì)整個(gè)定義域而言的, 是整體性的概念. 最值不僅可以在 [a, b]的內(nèi)點(diǎn),4,由于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定有最大與最小值. 由此, 求閉區(qū)間[ a, b]上的連續(xù)函數(shù) f(x) 的最值時(shí), 只需分別計(jì)算f(x)在開(kāi)區(qū)間(a, b)內(nèi)的駐點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)以及

3、端點(diǎn) a和b處的函數(shù)值. 然后加以比較, 其中最大者就是函數(shù)?(x)在[a , b]上的最大值, 最小者就是函數(shù) ?(x)在[a , b]上的最小值.,取得, 也可以在[a, b]的端點(diǎn)取得; 極值只可能在 (a, b) 的內(nèi)點(diǎn)取得. 最值最多只有一個(gè)最大值與最小值. 而一個(gè)函數(shù)可能有若干個(gè)極大值或極小值.,5,(1) 求出函數(shù)?(x)在區(qū)間(a , b)內(nèi)所有可能的極值點(diǎn)(駐點(diǎn)和一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)), 設(shè)為 x1,

4、x2 , …,xn;,(2) 求出相應(yīng)的函數(shù)值,(3) 比較(2)中所有函數(shù)值的大小, 其最大者為函數(shù)?(x)在閉區(qū)間[a , b]上的最大值, 最小者為函數(shù) ?(x)在閉區(qū)間[a , b]上的最小值.,求閉區(qū)間[a, b]上連續(xù)函數(shù) ?(x) 最值的一般步驟是:,6,解,(1) f (x)在[2，2]上連續(xù),,(2),(4) 駐點(diǎn)和一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處的函數(shù)值分別為,解之得駐點(diǎn)為,(3) 令,7,區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值分別為,

5、注1 若?(x)在[a , b]上為單調(diào)連續(xù)函數(shù), 則其最值只能在端點(diǎn)上達(dá)到.,,注2 若?(x)在某區(qū)間內(nèi)僅有一個(gè)可能極值點(diǎn)x0, 則當(dāng) x0 為極大(小)值點(diǎn)時(shí), x0 就是該函數(shù)在此區(qū)間上的最大(小)值點(diǎn);,f (0) = 0 .,8,證,考慮函數(shù),解之得駐點(diǎn)為,又,故 為函數(shù) f(x) 的唯一極大值點(diǎn), 也就是最大值點(diǎn).,所以, 當(dāng)x < 1 時(shí),,即,得,9,解決實(shí)際問(wèn)題最值的步

6、驟:,二. 實(shí)際問(wèn)題的最值,(1) 根據(jù)已知條件和要解決的問(wèn)題, 引入變量, 將需要求最大值或最小值的變量設(shè)為因變量, 把影響因變量的變量設(shè)為自變量, 用適當(dāng)?shù)淖帜副硎?,(2) 建立目標(biāo)函數(shù), 確定自變量的取值范圍．,(3) 求出目標(biāo)函數(shù)在自變量的取值范圍上的最值．,(4) 用所得的結(jié)果解釋原問(wèn)題．,10,注2 在實(shí)際問(wèn)題中, 若由分析得知確實(shí)存在最大值或最小值, 而所討論的區(qū)間內(nèi)僅有一個(gè)可能的極值點(diǎn), 那么這個(gè)點(diǎn) 就是

7、函數(shù)在此區(qū)間上的最值點(diǎn).,例3 用一個(gè)邊長(zhǎng)為厘米的正方形鋼板, 四角各截去一個(gè)大小相等的小正方形, 做成一個(gè)無(wú)蓋的盒子, 問(wèn)截掉的小正方形的邊長(zhǎng)為多少時(shí), 方盒的容積最大? 設(shè)圓柱形的罐頭筒, 容積V為常數(shù), 求表面積為最小時(shí), 底半徑 r 與高 h 之比.,11,解 設(shè)截去的小正方形的邊長(zhǎng)為x, 做成的無(wú)蓋方盒的容積,因?yàn)?為V, 則目標(biāo)函數(shù)為,由,而,所以 x = 8 是函數(shù)的極大值點(diǎn), 而且 x = 8 又是唯一的駐

8、點(diǎn), 故也是函數(shù)的最大值點(diǎn).,故當(dāng)截掉的小正方形邊長(zhǎng)為8厘米時(shí),,方盒的容積最大．,12,三.函數(shù)最值在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用,在經(jīng)濟(jì)管理中, 需要尋求企業(yè)的最小生產(chǎn)成本或制定獲得利潤(rùn)最大的一系列價(jià)格策略等. 這些問(wèn)題都可歸結(jié)為求函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題.,在本小節(jié)的討論之前, 先對(duì)下面所涉及的經(jīng)濟(jì)函數(shù)作如下的假定: 設(shè)函數(shù) y = ?(x) 是定義在區(qū)間 I 上的函數(shù), 且滿足,(1) 函數(shù) y = ?(x) 在區(qū)間 I 上可導(dǎo);

9、 (2) 如果函數(shù) y = ?(x) 在區(qū)間 I 上有最大(小)值, 則最大(小)值點(diǎn)位于區(qū)間I 的內(nèi)部.,13,1. 平均成本最小,設(shè)企業(yè)的總成本函數(shù)為,C = C(Q),若企業(yè)以平均成本最小為目標(biāo)函數(shù)來(lái)決策產(chǎn)量水平, 這就是求平均成本函數(shù)的最小值問(wèn)題.,平均成本函數(shù)為,假設(shè)在產(chǎn)量 Q = Q0 時(shí), 平均成本達(dá)到最小, 則由極值存在的必要條件, 有,14,其中, AC 表示平均成本.,即當(dāng)平均成本達(dá)到最小時(shí) , M

10、C = AC .,從而, MC = AC 是取得最小平均成本的必要條件.,例4 某工廠生產(chǎn)產(chǎn)量為 Q (件)時(shí), 生產(chǎn)成本函數(shù)(元)為,求該廠生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時(shí), 平均成本達(dá)到最小? 并求出其最小平均成本和相應(yīng)的邊際成本.,15,且駐點(diǎn)唯一.,解,于是當(dāng)Q = 3時(shí), 平均成本達(dá)到最小, 且最小平均成本為,平均成本函數(shù)是,則,令,得,16,而邊際成本函數(shù)為,故當(dāng)Q = 3時(shí), 相應(yīng)的邊際成本為,顯然有平均成本(用AC表示)最小

11、時(shí), MC = AC,17,2. 最大利潤(rùn),設(shè)總成本函數(shù)為C(Q), 總收益函數(shù)為R(Q), 其中 Q 為銷量, 則在假設(shè)產(chǎn)量和銷量一致的情況下, 總利潤(rùn)函數(shù)為,? =? (Q) ＝ R(Q) – C(Q),假設(shè)產(chǎn)量為 Q0 時(shí), 利潤(rùn)達(dá)到最大, 則由極值的必要條件和極值的第二充分條件, ? (Q0) 必定滿足:,18,可見(jiàn), 當(dāng)產(chǎn)量水平 Q = Q0 使得邊際收益等于邊際成本時(shí), 可獲得最大利潤(rùn).,經(jīng)濟(jì)分析中,

12、 常用MR表示邊際收益, MC表示邊際成本.,即當(dāng) MR = MC 時(shí),,可獲得最大利潤(rùn).,19,這是因?yàn)? 假設(shè)二者不等, 當(dāng)MR > MC時(shí), 則在產(chǎn)量Q = Q0的基礎(chǔ)上再多生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品, 所增加的收益大于所增加的成本, 因而利潤(rùn)有所增加.,若MR < MC, 則在產(chǎn)量 Q = Q0 的基礎(chǔ)上再少生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品, 所減少的收益小于所減少的成本, 因而利潤(rùn)有所增加.,因此, MR = MC

13、 是取得最大利潤(rùn)的必要條件.,20,解 總成本函數(shù)為,其中P為產(chǎn)品的價(jià)格. 已知生產(chǎn)10件產(chǎn)品時(shí)的平,均成本為48(元/件), 試求使利潤(rùn)最大的銷售價(jià)．,其中 C0為固定成本.,又因10件產(chǎn)品時(shí)的平均成本為48(元/件), 即,21,總利潤(rùn)函數(shù)為,解得固定成本C0=400, 從而,總收益函數(shù)為,而,故當(dāng)價(jià)格P為17.57元時(shí)利潤(rùn)最大,且駐點(diǎn)唯一.,得駐點(diǎn) (元).,22,3. 最優(yōu)批量和批數(shù),當(dāng)一個(gè)商場(chǎng)進(jìn)一

14、批貨物時(shí), 除支付購(gòu)買(mǎi)這批貨物的成本外, 還需一筆采購(gòu)費(fèi). 在貨物沒(méi)有出售完畢前, 還需將部分貨物庫(kù)存起來(lái), 這需一筆庫(kù)存費(fèi). 最優(yōu)批量問(wèn)題是：如何決策每批的進(jìn)貨數(shù)量, 即批量，使采購(gòu)費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和達(dá)到最小.,假設(shè)進(jìn)貨周期為 t 天, 每次訂貨 q 噸, 每次進(jìn)貨費(fèi)用為 C1 元, 每天每噸貨物庫(kù)存費(fèi)為C2 元, 每天對(duì)貨物的需求量為 Q 噸, 庫(kù)存量是均勻的, 怎樣訂貨才能使訂貨費(fèi)和庫(kù)存費(fèi)之和最少？,例6,23

15、,解,顯然,,若將數(shù)量為q 的貨物庫(kù)存 t 天, 則庫(kù)存費(fèi)為,在庫(kù)存量均勻減少的情況下, 庫(kù)存費(fèi)為,24,因此, 一個(gè)周期內(nèi)的總費(fèi)用,則每天的平均費(fèi)用為,從而,25,又,而,此時(shí), 每批的訂貨量為,得,令,26,例7 某商場(chǎng)每年銷售某商品100萬(wàn)件, 分批采購(gòu)進(jìn)貨, 每批進(jìn)貨數(shù)量相同. 已知每批采購(gòu)費(fèi)為1000元, 而未出售商品的庫(kù)存費(fèi)為每件0.05元/年. 設(shè)庫(kù)存商品數(shù)量是均勻的, 問(wèn)批量為多少時(shí), 才能使全年采購(gòu)費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)

16、之和達(dá)到最小? 此時(shí), 采購(gòu)費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)各是多少?,解,每年庫(kù)存費(fèi)為,x, 則庫(kù)存量為,每年采購(gòu)費(fèi)為,設(shè)每年的庫(kù)存費(fèi)和定貨的手續(xù)費(fèi)為C,設(shè)每批進(jìn)貨數(shù)量為,27,一年的總費(fèi)用函數(shù)為,則,由于,此時(shí),則 是總費(fèi)用函數(shù)的極小,值點(diǎn), 也是最小值點(diǎn).,庫(kù)存費(fèi)之和最小.,28,4.最優(yōu)時(shí)間選擇,由于資金有時(shí)間價(jià)值, 因而在分析投資問(wèn)題時(shí), 必須把發(fā)生在不同時(shí)間的資金流轉(zhuǎn)化成在同一個(gè)時(shí)間點(diǎn)的等價(jià)資金流

17、. 在經(jīng)濟(jì)分析中, 一般的做法是將投資成本與投資收益先轉(zhuǎn)化成投資成本的現(xiàn)值與投資收益的現(xiàn)值(經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱為貼現(xiàn)), 然后再做投資決策分析.,29,解,現(xiàn)值函數(shù)為,例8 設(shè)生長(zhǎng)在某塊土地上的木材價(jià)值 y 是時(shí)間 t 的函數(shù),其中 t 以年為單位, y 以千元為單位, 又樹(shù)木生長(zhǎng)期間的保養(yǎng)費(fèi)不計(jì). 假設(shè)資金的年貼現(xiàn)率為r , 按連續(xù)貼現(xiàn)計(jì)算, 試確定伐木出售的最佳時(shí)間.,于是,30,令,得唯一駐點(diǎn),可知,,也是現(xiàn)值函數(shù)的最

18、大值點(diǎn), 故伐木出售的最,佳時(shí)間是,由極值點(diǎn)的唯一性,31,內(nèi)容小結(jié),最值點(diǎn)應(yīng)在極值點(diǎn)和閉區(qū)間端點(diǎn)上找 ;,解決實(shí)際問(wèn)題的最值，特別是利用最值理論解決經(jīng)濟(jì)分,1. 連續(xù)函數(shù)的最值,,,建立目標(biāo)函數(shù)及其取值區(qū)間,求目標(biāo)函數(shù)的最值.,( 關(guān)鍵 ),析中的問(wèn)題 .,32,思考練習(xí),1. 某商家銷售某種商品的價(jià)格滿足關(guān)系 p = 7– 0.2Q (萬(wàn)元/噸), 且 Q 為銷售量(單位:噸), 產(chǎn)品的成本函數(shù)為,(1) 若每銷售一噸商品

19、, 政府要征稅 t (萬(wàn)元), 求該商家獲最大利潤(rùn)時(shí)的銷售量;,(2) t 為何值時(shí), 政府稅收總額最大.,C(Q) = 3Q + 1 (萬(wàn)元),33,解 (1) 當(dāng)該商品的銷售量為Q時(shí), 商品銷售總收入為,設(shè)政府征的總稅額為T(mén), 則有T = t Q, 且利潤(rùn)函數(shù)為,是使商家獲得最大利潤(rùn)的銷售量.,且駐點(diǎn)唯一.,得駐點(diǎn),34,(2) 由(1)的結(jié)果知,政府稅收總額為,顯然當(dāng) t = 2時(shí), 政府稅收總額最大.