海涅定理在函數(shù)極限證明中的應用

1、第1頁（共13頁）海涅定理在函數(shù)極限證明中的應用摘要：函數(shù)極限理論是數(shù)學分析中的重要組成部分。關于證明函數(shù)極限存在的方法探討具有十分重要的意義。本文給出了一些利用海涅定理證明函數(shù)極限存在性的應用，將函數(shù)極限歸結為數(shù)列極限問題來處理。不僅給出了一類證明函數(shù)極限存在的方法，同時也加深了對函數(shù)極限和數(shù)列極限兩者間的關系的理解。關鍵詞：海涅定理；函數(shù)極限；數(shù)列極限Abstract:Thelimittheyoffunctionsplaysanim

2、ptantroleinmathematicalanalysis.Studyonthemethodprovingexistenceoffunctionlimitisverymeaningful.InthispaperwegavesomeapplicationsfexistenceoffunctionlimitbyusingHeinetheemdealtwiththefunctionlimitproblemstothesequencelim

3、itproblems.Thesenotonlygaveakindofthemethodfexistenceoffunctionlimitbutalsodeepenthecomprehensionabouttherelationshipbetweenthefunctionlimitthesequencelimit.Keywds:Heinetheemfunctionlimitsequencelimit數(shù)列極限與函數(shù)極限是分別獨立定義的，但是

4、兩者是有聯(lián)系的。而海涅定理就是溝通函數(shù)極限與數(shù)列極限之間的橋梁。也是證明函數(shù)極限性質和極限存在的判定定理的一個重要的理論指導，而且在關于函數(shù)的極限證明中也有應用。除此之外還可以運用海涅定理優(yōu)化極限的運算。其意義在于把函數(shù)極限歸結為數(shù)列極限問題來處理。海涅定理深刻地揭示了變量變化的整體與部分、連續(xù)與離散之間的關系。數(shù)列極限與函數(shù)極限其變量不管是離散地變化還是連續(xù)地變化，只要它們的變化趨勢相同，從極限的意義上來說，效果都是一樣的。因此，數(shù)列

5、極限和函數(shù)極限在一定條件下能相互轉化，而能夠建立起這種聯(lián)系的就是海涅定理。近幾年，一些學者對海涅定理的應用及推廣進行了一系列的研究。此外，一些學者利用海涅定理來證明一些函數(shù)的性質、優(yōu)化極限的運算等，見參考文獻[16]。還有一些學者對海涅定理進行進一步推廣，見參考文獻[710]。根據(jù)文獻[6，810]對海涅定理進行歸類整理的。第3頁（共13頁）亦即當時，這個不等式成立，這也就證明了數(shù)列以為極限。Nn?????nxfA再證充分性。用反證法，

6、若，則對某一個，不能找到函數(shù)??Axfxx??0lim0??極限定義中的，也就是對任意的，都可以找到一點，，?0??x?00xx?????使得；特別地，若取為，得到滿足??????Axf?11123?123xxx?，；1001xx?????1fxA???，；20102xx?????2fxA???，；30103xx?????3fxA???…………從左邊一列可以看出，，而右邊一列卻說數(shù)列不以??0nxxn???0nxx???nxf為極限，與

7、假設矛盾。充分性得證。A等價類型的海涅定理：定理2.2設在上有定義則的充要條件是：對于??8??xfMx???limxfxA???任何以為極限的數(shù)列，都有。?????nnxxM???Axfnn???lim證明先證必要性。因為，則得到對任意的，存在，lim()xfxA???0??0M?當時有xM?.()fxA???但是，故對，可得正整數(shù)，當時有。又因為nx??0M?NnN?nxM?。故上面的不等式可以改寫為nxM?.()nfxA??亦即當